Question

如圖，M為線段AB的中點，AE與BD交于點C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，ME交BC于G．
（1）寫出圖中兩對相似三角形；
（2）連接FG，如果α=45°，AB=4

2

，AF=3，求FG的長．

Answer 1

分析：（1）根據已知條件，∠DME=∠A=∠B=α，結合圖形上的公共角，即可推出△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，△AMF∽△BGM；
（2）根據相似三角形的性質，推出BG的長度，依據銳角三角函數推出AC的長度，即可求出CG、CF的長度，繼而推出FG的長度．

解答：解：（1）△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，

（2）當α=45°時，可得AC⊥BC且AC=BC，
∵M為AB的中點，
∴AM=BM=2

2

，
∵∠DME=∠A=∠B=α，∠FMB是△AFM的外角，
∴∠FMB=∠A+∠AFM=∠DME+∠GMB，
∴∠AFM=∠GMB，
∴△AMF∽△BGM，
∴

AF

AM

=

BM

BG

∴BG=

AM•BM

AF

=

2 2 ×2 2

3

=

8

3

，AC=BC=4

2

cos45°=4，
∴CG=4-

8

3

=

4

3

，CF=4-3=1，
∴FG=

5

3

．

點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質、解直角三角形、等腰三角形的性質，解題的關鍵找到相似的三角形，根據其性質求出BG、AC的長度．