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(2006•嘉興)如圖,已知△ABC,AC=BC=6,∠C=90度.O是AB的中點,⊙O與AC相切于點D、與BC相切于點E.設⊙O交OB于F,連DF并延長交CB的延長線于G.
(1)∠BFG與∠BGF是否相等?為什么?
(2)求由DG、GE和弧ED所圍成圖形的面積.(陰影部分)

【答案】分析:(1)連接OD.根據切線的性質得到OD⊥AC,則OD∥BC;可得∠ODF=∠G,再結合對頂角相等和等邊對等角得到∠BFG=∠BGF.
(2)陰影部分的面積=直角三角形CDG的面積-(正方形的面積-扇形ODE的面積).根據等腰直角三角形的性質可求出有關邊AB、OD的長,以及圓心角∠DOE的度數.進而可根據扇形的面積和直角三角形的面積求得陰影部分的面積.
解答:解:(1)∠BFG=∠BGF;理由如下:
連OD,
∵OD=OF(⊙O的半徑),
∴∠ODF=∠OFD;
∵⊙O與AC相切于點D,∴OD⊥AC;
又∵∠C=90°,即GC⊥AC,∴OD∥GC,
∴∠BGF=∠ODF;
又∵∠BFG=∠OFD,
∴∠BFG=∠BGF.

(2)連OE,
∵⊙O與AC相切于點D、與BC相切于點E,
∴DC=CE,OD⊥AC,OE⊥BC,
∵∠C=90°,
∴四邊形ODCE為正方形,
∵AO=BO=AB==3
∴OD=BC=×6=3,
∵∠BFG=∠BGF,
∴BG=BF=OB-OF=3-3;
從而CG=CB+BG=3+3
∴S陰影=S△DCG-S正方形ODCE+S扇形ODE
=S△DCG-(S正方形ODCE-S扇形ODE
=•3•(3+3)-(32-π•32
=
點評:此題綜合考查了切線的性質、平行線的性質、等腰直角三角形的性質及扇形的面積計算方法.
練習冊系列答案
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①先以點A為中心順時針方向旋轉90°,再向右平移4格、向上平移4格;
②先以點O為中心作中心對稱圖形,再以點A的對應點為中心逆時針方向旋轉90°;
③先以直線MN為軸作軸對稱圖形,再向上平移4格,再以點A的對應點為中心順時針方向旋轉90度.
其中,能將△ABC變換成△PQR的是( )

A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③

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