Question

如圖所示，AC為⊙O的直徑且PA⊥AC，BC是⊙O的一條弦，直線PB交直線AC于點D，．
（1）求證：直線PB是⊙O的切線；
（2）求cos∠BCA的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OB、OP，由，且∠D=∠D，根據三角形相似的判定得到△BDC∽△PDO，可得到BC∥OP，易證得△BOP≌△AOP，則∠PBO=∠PAO=90°；
（2）設PB=a，則BD=2a，根據切線長定理得到PA=PB=a，根據勾股定理得到AD=2a，又BC∥OP，得到DC=2CO，得到DC=CA=×2a=a，則OA=a，利用勾股定理求出OP，然后根據余弦函數的定義即可求出cos∠BCA=cos∠POA的值．
解答：（1）證明：連接OB、OP，如圖，
∵，且∠D=∠D，
∴△BDC∽△PDO，
∴∠DBC=∠DPO，
∴BC∥OP，
∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠BOP
而OB=OC
∴∠OCB=∠CBO
∴∠BOP=∠POA
又∵OB=OA，OP=OP
∴△BOP≌△AOP
∴∠PBO=∠PAO
又∵PA⊥AC
∴∠PBO=90°
∴直線PB是⊙O的切線；

（2）解：由（1）知∠BCO=∠POA，
設PB=a，則BD=2a
又∵PA=PB=a
∴AD==2a，
又∵BC∥OP
∴DC=2CO，
∴DC=CA=×2a=a，
∴OA=a，
∴OP===a，
∴cos∠BCA=cos∠POA==．
點評：本題考查了圓的切線的性質和判定：圓的切線垂直于過切點的半徑；過半徑的外端點與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查了三角形相似和全等的判定與性質以及三角函數的定義．