Question

如圖所示，AC為⊙O的直徑且PA⊥AC，BC是⊙O的一條弦，直線PB交直線AC于點(diǎn)D，

DB

DP

=

DC

DO

=

2

3

．
（1）求證：直線PB是⊙O的切線；
（2）求cos∠BCA的值．

Answer 1

分析：（1）連接OB、OP，由

DB

DP

=

DC

DO

=

2

3

，且∠D=∠D，根據(jù)三角形相似的判定得到△BDC∽△PDO，可得到BC∥OP，易證得△BOP≌△AOP，則∠PBO=∠PAO=90°；
（2）設(shè)PB=a，則BD=2a，根據(jù)切線長定理得到PA=PB=a，根據(jù)勾股定理得到AD=2

2

a，又BC∥OP，得到DC=2CO，得到DC=CA=

1

2

×2

2

a=

2

a，則OA=

2

2

a，利用勾股定理求出OP，然后根據(jù)余弦函數(shù)的定義即可求出cos∠BCA=cos∠POA的值．

解答：（1）證明：連接OB、OP，如圖，
∵

DB

DP

=

DC

DO

=

2

3

，且∠D=∠D，
∴△BDC∽△PDO，
∴∠DBC=∠DPO，
∴BC∥OP，
∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠BOP
而OB=OC
∴∠OCB=∠CBO
∴∠BOP=∠POA
又∵OB=OA，OP=OP
∴△BOP≌△AOP
∴∠PBO=∠PAO
又∵PA⊥AC
∴∠PBO=90°
∴直線PB是⊙O的切線；

（2）解：由（1）知∠BCO=∠POA，
設(shè)PB=a，則BD=2a
又∵PA=PB=a
∴AD=

DP2-PA2

=2

2

a，
又∵BC∥OP
∴DC=2CO，
∴DC=CA=

1

2

×2

2

a=

2

a，
∴OA=

2

2

a，
∴OP=

OA2+PA2

=

( 2 a 2 )2+a2

=

6

2

a，
∴cos∠BCA=cos∠POA=

OA

OP

=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線的性質(zhì)和判定：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；過半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查了三角形相似和全等的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的定義．