Question

12．如圖所示，已知等邊△ABC中，BD=CE，AD與BE相交于點P．
（1）求∠APE的度數；
（2）連接CP，若CP⊥AD，求BP：AP的值．

Answer 1

分析 （1）根據等邊三角形的性質得到∠ABD=∠C，AB=BC，推出△ABD≌△BCE，根據全等三角形的性質得到∠BAD=∠CBE，由于∠ABE+∠EBC=60°，求得∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，即可得到結論；
（2）延長AP到F使PF=BP，連接CF，得到△PBF是等邊三角形，由等邊三角形的性質得到∠PBF=∠ABC=60°，求得∠ABP=∠CBF，推出△ABP≌△BCF，根據全等三角形性質得到CF=AP，∠BAP=∠BCF，太遲A，B，F，C四點共圓，根據圓周角定理得到∠AFC=∠ABC=60°，根據直角三角形的性質即可得到結論．

解答 解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABD=∠C，AB=BC，
在△ABD與△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠C}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BCE，
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ABE+∠EBC=60°，
∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，
∴∠APE=60°；

（2）延長AP到F使PF=BP，連接CF，
∵∠BPF=∠APE=60°，
∴△PBF是等邊三角形，
∴∠PBF=∠ABC=60°，
∴∠ABP=∠CBF，
在△ABP與△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABP=∠CBF}\\{BP=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△BCF，
∴CF=AP，∠BAP=∠BCF，
∴A，B，F，C四點共圓，
∴∠AFC=∠ABC=60°，
∵∠CPF=90°，
∴∠PCF=30°，
∴PF=$\frac{1}{2}$CF，
∴PB=$\frac{1}{2}$AP，即PB：AP=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，直角三角形的性質，四點共圓，正確的作出輔助線是解題的關鍵．