Question

8．如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊的中點，沿直線AE翻折△ABE，使B點落在點F處，連結CF并延長交AD于G點．
（1）依題意補全圖形；
（2）連接BF交AE于點O，判斷四邊形AECG的形狀并證明；
（3）若BC=10，AB=$\frac{20}{3}$，求CF的長．

Answer 1

分析 （1）結合題意即可補全圖形；
（2）由折疊的性質可得點O是BF中點，又由E是BC邊的中點，可得EO是△BCF的中位線，即可判定EO∥CG．又由AG∥CE，即可得四邊形AECG是平行四邊形；
（3）首先由勾股定理求得AE的長，然后由三角形的面積相等，求得BO的長，繼而求得BF的長，又由勾股定理，求得答案．

解答 （1）解：依題意補全圖形，如圖1；

（2）四邊形AECG是平行四邊形．
證明：如圖2，依翻折的性質可知，點O是BF中點，
∵E是BC中點，
∴EO∥CG．
∵AG∥CE，
∴四邊形AECG是平行四邊形．

（3）解：在Rt△ABE中，BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×10=5，AB=$\frac{20}{3}$，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\frac{25}{3}$．
∵S_△ABE=$\frac{1}{2}$AB•BE=$\frac{1}{2}$AE•BO，
∴BO=4．
∴BF=2BO=8．
∵BF⊥AE，AE∥CG，
∴∠BFC=90°．
∴CF=$\sqrt{B{C}^{2}-B{F}^{2}}$=6．

點評 此題考查了矩形的性質、平行四邊形的判定、折疊的性質以及勾股定理等知識．注意結合題意準確畫出圖形，利用面積法求解是關鍵．