Question

如圖，拋物線：與x軸交于A、B（A在B左側），頂點為C（1，-2），
（1）求此拋物線的關系式；并直接寫出點A、B的坐標．
（2）求過A、B、C三點的圓的半徑．
（3）在拋物線上找點P，在y軸上找點E，使以A、B、P、E為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P、E的坐標．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c的頂點為C（1，-2），
∴-=-=1，
解得b=-1，
==-2，
解得c=-，
∴拋物線解析式為y=x²-x-，
令y=0，則x²-x-=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴點A、B的坐標為：A（-1，0）、B（3，0）；

（2）∵A（-1，0）、B（3，0）、C（1，-2），
∴AB=3-（-1）=4，
AC==2，
BC==2，
∴AB²=16，AC²+BC²=8+8=16，
∴AB²=AC²+BC²，
∴△ABC是直角三角形，AB是直徑，
故半徑為2；

（3）①當AB是平行四邊形的邊時，PE=AB=4，且點P、E的縱坐標相等，
∴點P的橫坐標為4或-4，
∴y=×4²-4-=，
或y=×4²+4-=，
∴點P、E的坐標為P₁（4，）、E₁（0，）或P₂（-4，）、E₂（0，），
②如圖，當AB是平行四邊形的對角線時，PE平分AB，
∴PE與x軸的交點坐標D（1，0），
過點E作EF⊥AB，則OD=FD，
∴點F的坐標為（2，0），
∴點P的橫坐標為2，
y=×2²-2-=-，
∴點P的縱坐標為，
∴點P、E的坐標為P₃（2，-）、E₃（0，），
綜上所述，點P、E的坐標為：P₁（4，）、E₁（0，）或P₂（-4，）、E₂（0，）或P₃（2，-）、E₃（0，）．
分析：（1）根據頂點坐標，利用頂點公式列式進行計算求出b、c的值，從而得解；然后令y=0，解關于x的一元二次方程即可得到A、B的坐標；
（2）根據點A、B、C的坐標，求出AB、AC、BC的長度，然后判定出△ABC是直角三角形，再根據AB是直徑即可求解；
（3）分①AB是平行四邊形的邊，根據平行四邊形對邊平行且相等可得PE∥AB且PE=AB，然后利用拋物線解析式求解即可；
②AB是平行四邊形的對角線，根據平行四邊形的對角線互相平分可得PE與x軸的交點坐標為（1，0），從而得到點E的橫坐標為2，然后代入拋物線求出點E的縱坐標，并得到點P的坐標．
點評：本題綜合考查了二次函數待定系數法求函數解析式，勾股定理逆定理的應用，拋物線頂點坐標，拋物線與x軸的坐標的求解，三角形的外接圓的半徑，平行四邊形的性質，根據頂點坐標求出函數解析式是解題的關鍵，（3）注意要分AB是平行四邊形的邊與對角線兩種情況討論求解．