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在梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=5,BC=10,tan∠ADC=2.
(1)求DC的長;
(2)E為梯形內(nèi)一點(diǎn),F(xiàn)為梯形外一點(diǎn),若BF=DE,∠FBC=∠CDE,試判斷△ECF的形狀,并說明理由.
(3)在(2)的條件下,若BE⊥EC,BE:EC=4:3,求DE的長.

【答案】分析:(1)要求DC的長,過A點(diǎn)作AG⊥DC,垂足為G,只需求DG+CG,在直角三角形AGD中,可求DG=5,所以DC=10;
(2)由已知可證△DEC≌△BFC,得EC=CF,∠ECD=∠FCB,由∠BCE+∠ECD=90°,得∠ECF=90°,即△ECF是等腰直角三角形;
(3)在(2)的條件下,過F點(diǎn)作FH⊥BE,要求DE的長,只需求BF的長,在直角三角形BGF中,F(xiàn)G=CE=EG,由勾股定理可求.
解答:解:(1)過A點(diǎn)作AG⊥DC,垂足為G,
∵AB∥CD,
∴∠BCD=∠ABC=90°,
∴四邊形ABCG為矩形,
∴CG=AB=5,AG=BC=10,
∵tan∠ADG==2,
∴DG=5,
∴DC=DG+CG=10;

(2)∵DE=BF,∠FBC=∠CDE,BC=DC,
∴△DEC≌△BFC,
∴EC=CF,∠ECD=∠FCB,
∵∠BCE+∠ECD=90°,∠ECF=90°,
∴△ECF是等腰直角三角形;

(3)過F點(diǎn)作FH⊥BE,
∵BE⊥EC,CF⊥CE,CE=CF,
∴四邊形ECFH是正方形,
∵BE:EC=4:3,∠BEC=90°,
∴BC2=BE2+EC2
∴EC=6,BE=8,
∴BH=BE-EH=2,
∴DE=BF=
點(diǎn)評:本題考查了全等三角形的判定,直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)和勾股定理的綜合運(yùn)算.
練習(xí)冊系列答案
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10、如圖,在梯形ABCD中,若AB∥CD,BD=AD,∠BCD=110°,∠CBD=30°,則∠ADC=
140°

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如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,E是AB邊上的點(diǎn),給出下面三個(gè)論斷:①AD=BC;②DE=CE;③AE=BE.請你以其中的兩個(gè)論斷為條件,填入“已知”欄中,以一個(gè)論斷作為結(jié)論,填入“求證”欄中,使之成為一個(gè)正確的命題,并證明之.
已知:如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,E是AB邊上的點(diǎn),
AD=BC,AE=BE
AD=BC,AE=BE

求證:
DE=CE
DE=CE

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如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,過點(diǎn)A作AE∥DB交CB的延長線于點(diǎn)E.
(1)試說明∠ABD=∠CBD.
(2)若∠C=2∠E,試說明AB=DC.

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如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD,BD=BC,∠A=100°,則∠BDC的度數(shù)為(  )

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如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=
8
cm,AD=3cm,DC=
5
cm,∠B=45°,點(diǎn)P是下底BC邊上的一個(gè)動點(diǎn),從B向C以2cm/s的速度運(yùn)動,到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動,設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t(s).
(1)求BC的長;
(2)當(dāng)t為何值時(shí),四邊形APCD是等腰梯形;
(3)當(dāng)t為何值時(shí),以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.

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