Question

一開口向上的拋物線與x軸交于A（m-2，0），B（m+2，0）兩點（m為常數），記拋物線頂點為C，且AC⊥BC．
（1）求點C的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）若m小于0，那么（2）中的拋物線經過怎么樣的平移可以使頂點在坐標原點？

Answer 1

【答案】分析：（1）設對稱軸與x軸的交點為E，根據點A、B的坐標求出AB的長度以及對稱軸解析式，然后根據等腰直角三角形的性質求出CE的長度，從而得解；
（2）根據頂點坐標設出拋物線的頂點式解析式，然后把點A的坐標代入解析式求解即可；
（3）根據m＜0判斷出頂點所在的象限，然后根據點的平移變換解答．
解答：解：（1）如圖，∵A（m-2，0），B（m+2，0），
∴AB=（m+2）-（m-2）=m+2-m+2=4，
∵=m，
∴拋物線對稱軸為x=m，
∵拋物線頂點為C，且AC⊥BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，且CE=AB=×4=2，
∴點C的坐標為（m，-2）；

（2）設拋物線解析式為y=a（x-m）²-2，
則a（m-2-m）²-2=0，
解得a=，
∴拋物線解析式為y=（x-m）²-2；

（3）∵m＜0，
∴頂點坐標（m，-2）在第三象限，
∴拋物線y=（x-m）²-2向右平移（-m）個單位，向上平移2個單位可以使頂點在坐標原點．
點評：本題是對二次函數的綜合考查，點的坐標，兩點間的距離，待定系數法求二次函數解析式，拋物線的頂點式解析式的利用，以及平移變換的性質，難度不大，熟悉用字母表示數是解題的關鍵．