Question

一開口向上的拋物線與x軸交于A，B兩點，C（m，-2）為拋物線頂點，且AC⊥BC．
（1）若m是常數，求拋物線的解析式；
（2）設拋物線交y軸正半軸于D點，拋物線的對稱軸交x軸于E點．問是否存在實數m，使得△EOD為等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設拋物線的解析式為：y=a（x-m）²-2，由AC⊥BC，由拋物線的對稱性可知：△ACB為等腰直角三角形，可解得B點坐標，進而求出a的值．（2）設存在實數m，使得△EOD為等腰三角形，由（1）知D點坐標，
若△EOD為等腰三角形，只能OD=OE，分類點E在x軸位置情況，求出m的值．

解答：解：（1）設拋物線的解析式為：y=a（x-m）²-2，
∵AC⊥BC，
∵由拋物線的對稱性可知：△ACB為等腰直角三角形，
又∵AB=4，
∴B（m+2，0）
代入y=a（x-m）²-2，得a=

1

2

．
∴解析式為：y=

1

2

x2-mx+

1

2

m2-2．
（2）由（1）得D（0，

1

2

m²-2），
設存在實數m，使得△EOD為等腰三角形．
∵△EOD為等腰三角形，
∴只能OD=OE．
①當點E在x軸正半軸，
∵m＞0時，∴

1

2

m²-2=m．
解得m=1+

5

或m=1-

5

（舍）．
②當點E在x軸負半軸，∵m＜0時，∴

1

2

m²-2=-m．
解得m=-1-

5

或m=-1+

5

（舍）；
③當點E在原點，即m=0時，B、O、D三點共線（不合題意，舍）
綜上所述：存在實數m=1+

5

或m=-1-

5

，使得△EOD為等腰三角形．

點評：本題二次函數的綜合題，涉及到知識點求解拋物線的解析式，分類討論思想，此題不是很難，但要仔細．