Question

一開口向上的拋物線與x軸交于A（m-2，0），B（m+2，0）兩點（m為常數(shù)），記拋物線頂點為C，且AC⊥BC．
（1）求點C的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）若m小于0，那么（2）中的拋物線經(jīng)過怎么樣的平移可以使頂點在坐標(biāo)原點？

Answer 1

分析：（1）設(shè)對稱軸與x軸的交點為E，根據(jù)點A、B的坐標(biāo)求出AB的長度以及對稱軸解析式，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出CE的長度，從而得解；
（2）根據(jù)頂點坐標(biāo)設(shè)出拋物線的頂點式解析式，然后把點A的坐標(biāo)代入解析式求解即可；
（3）根據(jù)m＜0判斷出頂點所在的象限，然后根據(jù)點的平移變換解答．

解答：解：（1）如圖，∵A（m-2，0），B（m+2，0），
∴AB=（m+2）-（m-2）=m+2-m+2=4，
∵

m+2+m-2

2

=m，
∴拋物線對稱軸為x=m，
∵拋物線頂點為C，且AC⊥BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，且CE=

1

2

AB=

1

2

×4=2，
∴點C的坐標(biāo)為（m，-2）；

（2）設(shè)拋物線解析式為y=a（x-m）²-2，
則a（m-2-m）²-2=0，
解得a=

1

2

，
∴拋物線解析式為y=

1

2

（x-m）²-2；

（3）∵m＜0，
∴頂點坐標(biāo)（m，-2）在第三象限，
∴拋物線y=

1

2

（x-m）²-2向右平移（-m）個單位，向上平移2個單位可以使頂點在坐標(biāo)原點．

點評：本題是對二次函數(shù)的綜合考查，點的坐標(biāo)，兩點間的距離，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，拋物線的頂點式解析式的利用，以及平移變換的性質(zhì)，難度不大，熟悉用字母表示數(shù)是解題的關(guān)鍵．