Question

已知：關于x的方程x²+3x-m=0的兩個實數根的平方和等于11．求證：關于x的方程（k-3）x²+kmx-m²+6m-4=0有實數根．

Answer 1

【答案】分析：設方程x²+3x-m=0的兩根為x₁，x₂，根據根與系數的關系得x₁+x₂=-3，x₁•x₂=-m，由x₁²+x₂²=11，變形得（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=11，則9+2m=11，解得m=1，把m=1代入（k-3）x²+kmx-m²+6m-4=0得（k-3）x²+kx+1=0，討論：當k=3，方程變形為3x+1=0，解得x=-；當k≠3，△=k²-4（k-3）=k²-4k+12=（k-2）²+8＞0，則k無論為何實數，關于x的方程（k-3）x²+kmx-m²+6m-4=0有實數根．
解答：解：設方程x²+3x-m=0的兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-3，x₁•x₂=-m，
∵x₁²+x₂²=11，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=11，
∴9+2m=11，解得m=1，
且m=1，方程x²+3x-m=0有兩個實數根，
∴m=1，
把m=1代入（k-3）x²+kmx-m²+6m-4=0得（k-3）x²+kx+1=0，
當k=3，方程變形為3x+1=0，解得x=-，
當k≠3，△=k²-4（k-3）=k²-4k+12=（k-2）²+8，
∵（k-2）²≥0，
∴（k-2）²+8＞0，
∴k≠3時，方程有兩個不等實數根，
∴關于x的方程（k-3）x²+kmx-m²+6m-4=0有實數根．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系：若方程的兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-，x₁•x₂=．也考查了一元二次方程的根的判別式．