Question

如圖15，在Rt△ABC中，，CP平分∠ACB，CP與AB交于點D，且 PA=PB．

小題1:請你過點P分別向AC、BC作垂線，垂足分別為點E、F，并判斷四邊形PECF的形狀
小題2:求證：△PAB為等腰直角三角形
小題3:設，，試用、的代數式表示的周長；
小題4:試探索當邊AC、BC的長度變化時，的值是否發生變化，若不變，請直接寫出這個不變的值，若變化，試說明理由

Answer 1

小題1:過點P分別作PE⊥AC、PF⊥CB，垂足分別為E、F（如圖4）    …………1分

∵∠ACB=90°又由作圖可知PE⊥AC、PF⊥CB，∴四邊形PECF是矩形，
又∵點P在∠ACB的角平分線上，且PE⊥AC、PF⊥CB，∴PE=PF，
∴四邊形PECF是正方形．                                …………2分
小題2:證明：在Rt△AEP和Rt△BFP中，
∵PE=PF，PA=PB，∠AEP=∠BFP= 90°，
∴Rt△AEP≌Rt△BFP．
∴∠APE=∠BPF．
∵∠EPF= 90°，從而∠APB= 90°．
又因為PA=PB，
∴△PAB是等腰直角三角形．               …………5分
小題3:如圖4，在Rt△PAB中，∠APB=90°，PA=PB，PA=m，
∴AB=PA= ．                                       …………6分
由（2）中的證明過程可知，Rt△AEP≌Rt△BFP，可得AE=BF，CE=CF，
∴CA+CB=CE+EA+CB=CE+CF=2CE，又PC=n，
所以，在正方形PECF中，CE=PC=n．
∴CA+CB=2CE=．
所以△ABC的周長為：AB+BC+CA=+
小題4:不變， ．                                  …………9分
【參考證明：如圖4，∵∠1=∠2=∠3=∠4=45°，且∠ADC=∠PDB，
∴△ADC∽△PDB，故，即 ，……①
同理可得，△CDB∽△ADP，得到 ，   ……②
又PA=PB，則①+②得：===．
所以，這個值仍不變為．】

（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形；
（2）利用三角形全等證得等腰直角三角形