Question

已知A、P、B、C是⊙O上的四點，∠APC=∠BPC=60°，AB與PC交于Q點．
（1）判斷△ABC的形狀，并證明你的結論；
（2）直接寫出與△A P Q相似的三角形：______；
（3）若AP=6，，求PB的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由∠APC=∠BPC=60°及圓周角定理可求出∠BAC=∠ABC=60°，由三角形內角和定理可得∠ACB=60°，故此三角形是等邊三角形；
（2）根據圓周角定理及相似三角形的判定定理即可解答；
（3）過B作BD∥PA交PC于D，根據平行線的性質及相似三角形的判定定理可求出△AQP∽△BQD，再由相似三角形的相似比及等腰三角形的性質即可解答．
解答：解：（1）△ABC是等邊三角形．（1分）
∵∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠BPC=60°，（（2分） ）
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60°，
∴△ABC是等邊三角形；（1分）

（2）△CBQ和△CPB．（2分）（寫出一個給1分）

（3）如圖，過B作BD∥PA交PC于D，
則∠BDP=∠APC=60°．
又∵∠AQP=∠BQD，
∴△AQP∽△BQD，
∴，（2分）
∵∠BPD=∠BDP=60°，
∴PB=BD．
∴，
∴，
∴PB=10．（2分）
點評：此題比較復雜，涉及到圓周角定理、相似三角形的性質及判定定理，解答此題的關鍵是根據題意作出輔助線，構造出相似三角形．