Question

（2004•梅州）如圖，△ABC中，AB=AC，過BC上一點D作BC的垂線，交BA延長線與P，交AC于Q．
（1）判斷△APQ的形狀，并證明你的結論；
（2）若∠B=60°，AB=AC=2，設CD=x，四邊形ABDQ的面積為y，求y與x之間的函數關系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：充分利用條件，選擇適當的方法證明是等腰三角形，并利用直角三角形和正三角形的特點來確定三角形的邊長與面積．
解答：解：（1）△APQ為等腰三角形，理由如下：
在△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵P為BA延長線上一點，PD⊥BD交AC與Q點，
∴∠BDQ=∠BDP=90°．
∵∠QCD+∠DQC=90°，∠B+∠P=90°，∠ABC=∠ACB，
∴∠P=∠DQC，又∠AQP=∠DQC，
∴∠P=∠AQP，
∴AP=AQ，
∴△APQ為等腰三角形；

（2）∵∠B=60°，AB=AC=2，
∴△ABC為正三角形．
∵PD⊥BC，∠C=60°，
∴∠CQD=30°．
∴CQ=2DC=2x，
根據勾股定理 DQ==x，
y=×2×2sin60°-x•x=-x²（0＜x＜1），即y=-x²（0＜x＜1）．
點評：本題考查了等腰三角形的判定和綜合應用解直角三角形、直角三角形性質進行邏輯推理能力和運算能力．