Question

【題目】如圖，在一條東西走向的公路MN的同側有A，B兩個村莊，村莊B位于村莊A的北偏東60°的方向上（∠QAB＝60°），公路旁的貨站P位于村莊A的北偏東15°的方向上，已知PA平分∠BPN，AP＝2km，求村莊A，B之間的距離．（計算結果精確到0.01km，參考數據：≈1.414，≈1.732，≈2.449）

Answer 1

【答案】村莊A，B之間的距離約為2.23 km．

【解析】

延長AQ交MN于點D，則AD⊥MN，過點P作PC⊥AB于點C．根據題意可得，∠PAD＝15°．然后根據銳角三角函數即可求出村莊A，B之間的距離．

解：如圖，延長AQ交MN于點D，

則AD⊥MN，過點P作PC⊥AB于點C．

根據題意可知：∠PAD＝15°，

∴∠APD＝90°﹣∠PAD＝75°，

∵AP平分∠BPN，

∴∠APD＝∠APB＝75°，

∵∠QAB＝60°，

∴∠PAB＝∠QAB﹣∠PAD＝45°，

∴∠PBA＝180°﹣∠PAB﹣∠APB＝60°，

在Rt△APC中，∠ACP＝90°，∠PAC＝45°，AP＝2，

∴，

即，

∴，

∴AC＝PC＝，

在Rt△PCB中，∠BCP＝90°，∠PBA＝60°，，

∴，

即，

∴，

∴≈1.414+≈2.23（km）．

答：村莊A，B之間的距離約為2.23 km．