Question

【題目】有一塊形狀如圖的五邊形余料，，，，，.要在這塊余料中截取一塊矩形材料，其中一邊在上，并使所截矩形的面積盡可能大.

（1）若所截矩形材料的一條邊是或，求矩形材料的面積；

（2）能否截出比（1）中面積更大的矩形材料？如果能，求出這些矩形材料面積的最大值，如果不能，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）S=30；（2）能，的最大值為30.25.

【解析】

（1）①若所截矩形材料的一條邊是BC，過點C作CF⊥AE于F，得出S1=ABBC=6×5=30；

②若所截矩形材料的一條邊是AE，過點E作EF∥AB交CD于F，FG⊥AB于G，過點C作CH⊥FG于H，則四邊形AEFG為矩形，四邊形BCHG為矩形，證出△CHF為等腰三角形，得出AE=FG=6，HG=BC=5，BG=CH=FH，求出BG=CH=FH=FG-HG=1，AG=AB-BG=5，得出S2=AEAG=6×5=30；

（2）在CD上取點F，過點F作FM⊥AB于M，FN⊥AE于N，過點C作CG⊥FM于G，則四邊形ANFM為矩形，四邊形BCGM為矩形，證出△CGF為等腰三角形，得出MG=BC=5，BM=CG，FG=DG，設AM=x，則BM=6-x，FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11-x，得出S=AM×FM=x（11-x）=-x2+11x，由二次函數的性質即可得出結果．

（1）①若所截矩形材料的一條邊是BC，如圖1所示：

過點C作CF⊥AE于F，S1=ABBC=6×5=30；

②若所截矩形材料的一條邊是AE，如圖2所示：

過點E作EF∥AB交CD于F，FG⊥AB于G，過點C作CH⊥FG于H，

則四邊形AEFG為矩形，四邊形BCHG為矩形，

∵∠C=135°，

∴∠FCH=45°，

∴△CHF為等腰直角三角形，

∴AE=FG=6，HG=BC=5，BG=CH=FH，

∴BG=CH=FH=FG-HG=6-5=1，

∴AG=AB-BG=6-1=5，

∴S2=AEAG=6×5=30；

（2）能；理由如下：

在CD上取點F，過點F作FM⊥AB于M，FN⊥AE于N，過點C作CG⊥FM于G，

則四邊形ANFM為矩形，四邊形BCGM為矩形，

∵∠C=135°，

∴∠FCG=45°，

∴△CGF為等腰直角三角形，

∴MG=BC=5，BM=CG，FG=DG，

設AM=x，則BM=6-x，

∴FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11-x，

∴S=AM×FM=x（11-x）=-x2+11x=-（x-5.5）2+30.25，

∴當x=5.5時，S的最大值為30.25．