Question

設實數x，y滿足x²-2x|y|+y²-6x-4|y|+27=0，則y的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：分兩種情況討論：當y≥0，方程變為：x²-2（y+3）x+y²-4y+27=0，則有△≥0，即△=4（y+3）²-4（y²-4y+27）=8（5y-9）≥0，即可得到y的取值范圍；當y＜0，方程變為：x²+2（y-3）x+y²+4y+27=0，則有△≥0，即△=4（y-3）²-4（y²+4y+27）=8（-5y-9）≥0，即可得到y的取值范圍；最后y的取值范圍有兩個．

解答：解：當y≥0，方程變為：x²-2（y+3）x+y²-4y+27=0，
∵△≥0，△=4（y+3）²-4（y²-4y+27）=8（5y-9）≥0，
∴y≥

9

5

．
當y＜0，方程變為：x²+2（y-3）x+y²+4y+27=0，
∵△≥0，即△=4（y-3）²-4（y²+4y+27）=8（-5y-9）≥0，
∴y≤-

9

5

．
所以y的取值范圍是y≥

9

5

或y≤-

9

5

．
故答案為：y≥

9

5

或y≤-

9

5

．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）的根的判別式△=b²-4ac．當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．同時考查了絕對值的含義和分類討論思想的運用．