(本題滿分12分)△ABC是邊長為4個單位長度的等邊三角形,點F是邊BC上的點,FD⊥AB,FE⊥AC,
(1)求證:△BDF∽△CEF;
(2)已知A、D、F、E四點在同一個圓上,若tan∠EDF= ,求此圓的半徑.
(3)設BF=m,四邊形ADFE面積為S,求出S與m之間的函數關系,并探究當m為何值時S取最大值;
(1)見解析;
(2)此圓半徑長為.
(3)S═﹣(m﹣2)2+3
(其中0<m<4).當m=2時,S取到最大值,最大值為3
.
【解析】
試題分析:(1)只需找到兩組對應角相等即可.
(2)易知AF就是圓的直徑,利用圓周角定理將∠EDF轉化為∠EAF.在△AFC中,知道tan∠EAF、∠C、AC,通過解直角三角形就可求出AF長.
(3)四邊形ADFE面積S可以看成△ADF與△AEF的面積之和,借助三角函數用m表示出AD、DF、AE、EF的長,進而可以用含m的代數式表示S,然后通過配方,轉化為二次函數的最值問題,就可以解決問題.
試題解析:(1)∵DF⊥AB,EF⊥AC,
∴∠BDF=∠CEF=90°.
∵△ABC為等邊三角形,
∴∠B=∠C=60°.
∵∠BDF=∠CEF,∠B=∠C,
∴△BDF∽△CEF.
(2)如圖,
∵A、D、F、E四點共圓,
∴∠EDF=∠EAF.
∵∠ADF=∠AEF=90°,
∴AF是此圓的直徑.
∵tan∠EDF=,
∴tan∠EAF=.
∴=
.
∵∠C=60°,
∴=tan60°=
.
設EC=x,則EF=x,EA=2x.
∵AC=a,
∴2x+x=a.
∴x=.
∴EF=,AE=
.
∵∠AEF=90°,
∴AF==
.
∴AO=AF=
∴此圓半徑長為.
(3)∵∠BDF=90°,∠B=60°,
∴sin60°==
,cos60°=
=
.
∵BF=m,
∴DF=m,BD=
.
∵AB=4,
∴AD=4﹣.
∴S△ADF=AD•DF
=×(4﹣
)×
m
=﹣m2+
m.
同理:S△AEF=AE•EF
=×(4﹣
)×
(4﹣m)
=﹣m2+2
.
∴S=S△ADF+S△AEF
=﹣m2+
m+2
=﹣(m2﹣4m﹣8)
=﹣(m﹣2)2+3
.其中0<m<4.
∵﹣<0,0<2<4,
∴當m=2時,S取最大值,最大值為3.
∴S與m之間的函數關系為:
S═﹣(m﹣2)2+3
(其中0<m<4).
當m=2時,S取到最大值,最大值為3.
考點:相似形綜合題
科目:初中數學 來源:2014-2015學年云南省景洪市九年級11月月考數學試卷(解析版) 題型:選擇題
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A.50° B.80° C.90° D.100°
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科目:初中數學 來源:2014-2015學年江蘇省等九年級上學期第三次月考數學試卷(解析版) 題型:填空題
如圖,□ABCD的面積為12,E為BC中點,DE、AC交于F點,的面積為 .
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科目:初中數學 來源:2014-2015學年江蘇省等九年級上學期第三次月考數學試卷(解析版) 題型:選擇題
在中,
,如果把
的各邊的長都縮小為原來的
,則
的正切值( )
A.縮小為原來的
B.擴大為原來的4倍
C.縮小為原來的
D.沒有變化
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科目:初中數學 來源:2014-2015學年江蘇省靖江市九年級1月獨立作業數學試卷(解析版) 題型:解答題
(本題滿分8分)已知:如圖,AB和DE是直立在地面上的兩根立柱,AB=5m,某一時刻,AB在陽光下的投影BC=4m.
(1)請你在圖中畫出此時DE在陽光下的投影;
(2)在測量AB的投影長時,同時測出DE在陽光下的投影長為6m,請你計算DE的長
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科目:初中數學 來源:2014-2015學年天津市七年級上學期期末數學試卷(解析版) 題型:計算題
計算:(1)(+6.2)―(+4.6)―(―3.6)―(―2.8)
(2)1.6×(―)×(―2.5)×(―
)
(3)(―
+
―
)×(―4.8)
(4)(―)2+(―1)101―0.25+(
)2÷(―
)3÷
(5)(―2)3÷×(―
)2+
―5×(―
)
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科目:初中數學 來源:2014-2015學年天津市八年級上學期期末數學試卷(解析版) 題型:選擇題
如下圖,已知△ABE≌△ACD,∠1=∠2,∠B=∠C,不正確的等式是( )
A.AB=AC B.∠BAE=∠CAD C.BE=DC D.AD=DE
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