Question

（本題滿分12分）△ABC是邊長為4個單位長度的等邊三角形，點F是邊BC上的點，FD⊥AB，FE⊥AC，

（1）求證：△BDF∽△CEF；

（2）已知A、D、F、E四點在同一個圓上，若tan∠EDF= ，求此圓的半徑．

（3）設BF=m，四邊形ADFE面積為S，求出S與m之間的函數關系，并探究當m為何值時S取最大值；

Answer 1

（1）見解析；

（2）此圓半徑長為．

（3）S═﹣（m﹣2）2+3（其中0＜m＜4）．當m=2時，S取到最大值，最大值為3．

【解析】

試題分析：（1）只需找到兩組對應角相等即可．

（2）易知AF就是圓的直徑，利用圓周角定理將∠EDF轉化為∠EAF．在△AFC中，知道tan∠EAF、∠C、AC，通過解直角三角形就可求出AF長．

（3）四邊形ADFE面積S可以看成△ADF與△AEF的面積之和，借助三角函數用m表示出AD、DF、AE、EF的長，進而可以用含m的代數式表示S，然后通過配方，轉化為二次函數的最值問題，就可以解決問題．

試題解析：（1）∵DF⊥AB，EF⊥AC，

∴∠BDF=∠CEF=90°．

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠B=∠C=60°．

∵∠BDF=∠CEF，∠B=∠C，

∴△BDF∽△CEF．

（2）如圖，

∵A、D、F、E四點共圓，

∴∠EDF=∠EAF．

∵∠ADF=∠AEF=90°，

∴AF是此圓的直徑．

∵tan∠EDF=，

∴tan∠EAF=．

∴=．

∵∠C=60°，

∴=tan60°=．

設EC=x，則EF=x，EA=2x．

∵AC=a，

∴2x+x=a．

∴x=．

∴EF=，AE=．

∵∠AEF=90°，

∴AF==．

∴AO=AF=

∴此圓半徑長為．

（3）∵∠BDF=90°，∠B=60°，

∴sin60°==，cos60°==．

∵BF=m，

∴DF=m，BD=．

∵AB=4，

∴AD=4﹣．

∴S△ADF=AD•DF

=×（4﹣）×m

=﹣m2+m．

同理：S△AEF=AE•EF

=×（4﹣）×（4﹣m）

=﹣m2+2．

∴S=S△ADF+S△AEF

=﹣m2+m+2

=﹣（m2﹣4m﹣8）

=﹣（m﹣2）2+3．其中0＜m＜4．

∵﹣＜0，0＜2＜4，

∴當m=2時，S取最大值，最大值為3．

∴S與m之間的函數關系為：

S═﹣（m﹣2）2+3（其中0＜m＜4）．

當m=2時，S取到最大值，最大值為3．

考點：相似形綜合題