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(本題滿分12分)△ABC是邊長為4個單位長度的等邊三角形,點F是邊BC上的點,FD⊥AB,FE⊥AC,

(1)求證:△BDF∽△CEF;

(2)已知A、D、F、E四點在同一個圓上,若tan∠EDF= ,求此圓的半徑.

(3)設BF=m,四邊形ADFE面積為S,求出S與m之間的函數關系,并探究當m為何值時S取最大值;

(1)見解析;

(2)此圓半徑長為

(3)S═﹣(m﹣2)2+3(其中0<m<4).當m=2時,S取到最大值,最大值為3

【解析】

試題分析:(1)只需找到兩組對應角相等即可.

(2)易知AF就是圓的直徑,利用圓周角定理將∠EDF轉化為∠EAF.在△AFC中,知道tan∠EAF、∠C、AC,通過解直角三角形就可求出AF長.

(3)四邊形ADFE面積S可以看成△ADF與△AEF的面積之和,借助三角函數用m表示出AD、DF、AE、EF的長,進而可以用含m的代數式表示S,然后通過配方,轉化為二次函數的最值問題,就可以解決問題.

試題解析:(1)∵DF⊥AB,EF⊥AC,

∴∠BDF=∠CEF=90°.

∵△ABC為等邊三角形,

∴∠B=∠C=60°.

∵∠BDF=∠CEF,∠B=∠C,

∴△BDF∽△CEF.

(2)如圖,

∵A、D、F、E四點共圓,

∴∠EDF=∠EAF.

∵∠ADF=∠AEF=90°,

∴AF是此圓的直徑.

∵tan∠EDF=

∴tan∠EAF=

=

∵∠C=60°,

=tan60°=

設EC=x,則EF=x,EA=2x.

∵AC=a,

∴2x+x=a.

∴x=

∴EF=,AE=

∵∠AEF=90°,

∴AF==

∴AO=AF=

∴此圓半徑長為

(3)∵∠BDF=90°,∠B=60°,

∴sin60°==,cos60°==

∵BF=m,

∴DF=m,BD=

∵AB=4,

∴AD=4﹣

∴S△ADF=AD•DF

=×(4﹣)×m

=﹣m2+m.

同理:S△AEF=AE•EF

=×(4﹣)×(4﹣m)

=﹣m2+2

∴S=S△ADF+S△AEF

=﹣m2+m+2

=﹣(m2﹣4m﹣8)

=﹣(m﹣2)2+3.其中0<m<4.

∵﹣<0,0<2<4,

∴當m=2時,S取最大值,最大值為3

∴S與m之間的函數關系為:

S═﹣(m﹣2)2+3(其中0<m<4).

當m=2時,S取到最大值,最大值為3

考點:相似形綜合題

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