Question

【題目】已知拋物線y＝ax2+bx+2經過A（﹣1，0），B（2，0），C三點．直線y＝mx+交拋物線于A，Q兩點，點P是拋物線上直線AQ上方的一個動點，作PF⊥x軸，垂足為F，交AQ于點N．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖①，當點P運動到什么位置時，線段PN＝2NF，求出此時點P的坐標；

（3）如圖②，線段AC的垂直平分線交x軸于點E，垂足為D，點M為拋物線的頂點，在直線DE上是否存在一點G，使△CMG的周長最小？若存在，請求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）點P的坐標為（，）；（3）在直線DE上存在一點G，使△CMG的周長最小，此時G（﹣，）．

【解析】

（1）將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式得到關于b、c的方程組，然后求得a，b的值，從而得到問題的答案；

（2）把A（﹣1，0）代入y＝mx+ 求得m的值，可得到直線AQ的解析式，設點P的橫坐標為n，則P（n，﹣n2+n+2），N（n， n+），F（n，0），

然后用含n的式子表示出PN、NF的長，然后依據PN＝2NF列方程求解即可；

（3）連結AM交直線DE與點G，連結CG、CM此時，△CMG的周長最小，先求得點M的坐標，然后求得AM和DE的解析式，最后在求得兩直線的交點坐標即可．

（1）∵拋物線y＝ax2+bx+2經過A（﹣1，0），B（2，0），

∴將點A和點B的坐標代入得： ，解得a＝﹣1，b＝1，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+2．

（2）直線y＝mx+交拋物線與A、Q兩點，把A（﹣1，0）代入解析式得：m＝，

∴直線AQ的解析式為y＝x+．

設點P的橫坐標為n，則P（n，﹣n2+n+2），N（n， n+），F（n，0），

∴PN＝﹣n2+n+2﹣（n+）＝﹣n2+n+ ，NF＝n+．

∵PN＝2NF，即﹣n2+n+＝2×（n+），解得：n＝﹣1或．

當n＝﹣1時，點P與點A重合，不符合題意舍去．

∴點P的坐標為（，）．

（3）∵y＝﹣x2+x+2，＝﹣（x﹣）2+，

∴M（，）．

如圖所示，連結AM交直線DE與點G，連結CG、CM此時，△CMG的周長最小．

設直線AM的函數解析式為y＝kx+b，且過A（﹣1，0），M（，）．

根據題意得： ，解得 ．

∴直線AM的函數解析式為y＝x+．

∵D為AC的中點，

∴D（﹣，1）．

設直線AC的解析式為y＝kx+2，將點A的坐標代入得：﹣k+2＝0，解得k＝2，

∴AC的解析式為y＝2x+2．

設直線DE的解析式為y＝﹣x+c，將點D的坐標代入得： +c＝1，解得c＝，

∴直線DE的解析式為y＝﹣x+．

將y＝﹣x+ 與y＝x+聯立，解得：x＝﹣ ，y＝ ．

∴在直線DE上存在一點G，使△CMG的周長最小，此時G（﹣，）．