Question

【題目】如圖1，兩塊直角三角紙板（Rt△ABC和Rt△BDE）按圖所示的方式擺放（重合點為B），其中∠BDE=∠ACB=90°，∠ABC=30°，BD=DE=AC=2．將△BDE繞著點B順時針旋轉．

（1）當點D在BC上時，求CD的長；

（2）當△BDE旋轉到A，D，E三點共線時，求△CDE的面積；

（3）如圖2，連接CD，點G是CD的中點，連接AG，求AG的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）△CDE的面積為1或2；（3），.

【解析】分析：

（1）由已知條件易得AB=2AC=4結合AC=2及∠ACB=90°可得BC=，由此可得CD=BC-BD=；

（2）根據題意分以下兩種情況，畫出圖形，結合已知條件分析計算即可：①點D在BC上方，如圖3；②點D在BC下方，如圖4；

（3）如圖5，取BC的中點H，連接GH、AH，由已知條件易得AH=，GH=BD=1，由題意和圖可知：點G在以點H為圓心，GH為半徑的⊙H上運動，點D在以B為圓心，BD為半徑的⊙B上運動，由此即可得到AG的最大值和最小值.

詳解：

（1）∵在△ABC中，AC=2，∠ACB=90°，∠ABC=30°，

∴AB=2AC=4，

∴BC=；

∵BD=2，點D在BC上，

∴CD=BC-BD=；

（2）①如圖3，當點D在BC上方，A、D、E三點共線時，

∵A、D、E三點共線，∠BDE=90°，

∴∠ADE=90°=∠ACB，

又∵AB=BA，AC=BD，

∴△ABC≌△BAD，

∴AD=BC，

∴四邊形ACBD是平行四邊形，

又∵∠ACB=90°，

∴四邊形ACBD是矩形，

∴；

②如圖4，當點D在BC下方，A、D、E三點共線時，

∵BD=DE=AC，

∴∠BAD=∠ABC=30°，所以∠CAD=∠CBD=30°，

∵△ABC和△ABD中，∠ACB=∠ADB=90°，

∴A、C、D、B四點共圓，

∴∠BCD=∠ADC=30°，

∴∠BCD=∠CBD，

∴CD=DE=BD=2，

∴ ，

綜上所述△CDE的面積為1或2；

（3）如圖5，由題意可知，隨著△BDE繞著點B進行順時針旋轉，點D的運動路線是以點B為圓心，BD為半徑的圓，取BC的中點H，連接GH，AH，

∴CH=BC=，

∴AH=，

∵點G是CD中點，點H是BC的中點，

∴GH是△BCD的中位線，

∴GH=BD=1，

∴點G的運動路線是以H為圓心，1為半徑的圓，

∴AG的最大值=AH+1=+1，AG的最小值=AH-1=-1.