Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2﹣2ax+b與x軸交于A、B（3，0）兩點，與y軸交于點C，且OC=3OA，設拋物線的頂點為D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線對稱軸的右側的拋物線上是否存在點P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點（其中點M在點N的右側），在x軸上是否存在點Q，使△MNQ為等腰直角三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）P（2，3）或（，）；（3）存在，且Q1（1，0），Q2（2﹣，0），Q3（2+，0），Q4（﹣，0），Q5（，0）.

【解析】

（1）根據拋物線的解析式，可得到它的對稱軸方程，進而可根據點B的坐標來確定點A的坐標，已知OC=3OA，即可得到點C的坐標，利用待定系數法即可求得該拋物線的解析式．
（2）求出點C關于對稱軸的對稱點，求出兩點間的距離與CD相比較可知，PC不可能與CD相等，因此要分兩種情況討論：
①CD=PD，根據拋物線的對稱性可知，C點關于拋物線對稱軸的對稱點滿足P點的要求，坐標易求得；
②PD=PC，可設出點P的坐標，然后表示出PC、PD的長，根據它們的等量關系列式求出點P的坐標．
（3）此題要分三種情況討論：
①點Q是直角頂點，那么點Q必為拋物線對稱軸與x軸的交點，由此求得點Q的坐標；
②M、N在x軸上方，且以N為直角頂點時，可設出點N的坐標，根據拋物線的對稱性可知MN正好等于拋物線對稱軸到N點距離的2倍，而△MNQ是等腰直角三角形，則QN=MN，由此可表示出點N的縱坐標，聯立拋物線的解析式，即可得到關于N點橫坐標的方程，從而求得點Q的坐標；根據拋物線的對稱性知：Q關于拋物線的對稱點也符合題意；
③M、N在x軸下方，且以N為直角頂點時，方法同②．

（1）由y=ax2﹣2ax+b可得拋物線對稱軸為x=1，由B（3，0）可得A（﹣1，0）；

∵OC=3OA，

∴C（0，3）；

依題意有：，

解得；

∴y=﹣x2+2x+3．

（2）存在．①DC=DP時，由C點（0，3）和x=1可得對稱點為P（2，3）；

設P2（x，y），

∵C（0，3），P（2，3），

∴CP=2，

∵D（1，4），

∴CD=＜2，

②由①此時CD⊥PD，

根據垂線段最短可得，PC不可能與CD相等；

②PC=PD時，∵CP22=（3﹣y）2+x2，DP22=（x﹣1）2+（4﹣y）2

∴（3﹣y）2+x2=（x﹣1）2+（4﹣y）2

將y=﹣x2+2x+3代入可得：，

∴；

∴P2（，）．

綜上所述，P（2，3）或（，）．

（3）存在，且Q1（1，0），Q2（2﹣，0），Q3（2+，0），Q4（﹣，0），Q5（，0）；

①若Q是直角頂點，由對稱性可直接得Q1（1，0）；

②若N是直角頂點，且M、N在x軸上方時；

設Q2（x，0）（x＜1），

∴MN=2Q1O2=2（1﹣x），

∵△Q2MN為等腰直角三角形；

∴y=2（1﹣x）即﹣x2+2x+3=2（1﹣x）；

∵x＜1，

∴Q2（，0）；

由對稱性可得Q3（，0）；

③若N是直角頂點，且M、N在x軸下方時；

同理設Q4（x，y），（x＜1）

∴Q1Q4=1﹣x，而Q4N=2（Q1Q4），

∵y為負，

∴﹣y=2（1﹣x），

∴﹣（﹣x2+2x+3）=2（1﹣x），

∵x＜1，

∴x=﹣，

∴Q4（，0）；

由對稱性可得Q5（+2，0）．