Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的高，以CD為直徑作⊙O分別交AC，BC于點E，F，過點E作⊙O的切線，分別交直線BC，AB于點H，G．

（1）求證：HG=GB；

（2）若⊙O的直徑為4，連接OG，交⊙O于點M．填空：

①連接OE，ME，DM．當EG=____時，四邊形OEMD為菱形；

②連接OE．當EG=_________時，四邊形OEAG為平行四邊形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①；②2

【解析】

（1）如圖連接，由相切及可得，由，可得，由于是斜邊上的高，可得，即可得：;

(2) ①連接ED，可得OC=OE=OM=OD=2,假設四邊形OEMD是菱形，則OE=EM,可得△OEM是等邊三角形,故∠EOG=60°，可證∠EGO=30°故OG=2EO==4,利用勾股定理可得： 進行計算即可；

②連接OE,當,四邊形OEAG為平行四邊形， 由O為直徑CD的中點，，可得E為直徑AC的中點，G為直徑AD的中點，故EG是△ACD的中位線，即可得出答案．

（1）證明：如圖連接．

∵與相切，

∴，

∴

∵，

∴，

，

∴

∵，

∴，

∵是斜邊上的高，

∴

∵

∴

∴

(2)①連接ED，如圖：

∵⊙O的直徑為4,

∴⊙O的半徑為2，即OC=OE=OM=OD=2,

假設四邊形OEMD是菱形，則OE=EM,

又∵OE=OM,

∴OE=OM=EM,

∴△OEM是等邊三角形,

∴∠EOG=60°

∵ GE與⊙O相切于E,

∴∠OEG=90°

∴∠EGO=90°-∠EOG=30°

∴OG=2EO=4,

∴

∴當EG=時，四邊形OEMD為菱形；

故答案為：

②如圖，連接OE,

當,四邊形OEAG為平行四邊形

∵O為直徑CD的中點，

∴E為直徑AC的中點，G為直徑AD的中點

∴EG是△ACD的中位線

∴EG=

∴當EG=2時，四邊形OEAG為平行四邊形

故答案為：2