Question

以長為2cm的定線段AB為邊，作正方形ABCD，取AB的中點P．在BA的延長線上取點F，使PF=PD，以AF為邊作正方形AMEF，點M落在AD上，如圖所示．
（1）試求AM、DM的長；
（2）點M是線段AD的黃金分割點嗎？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）要求AM的長，即是求AF的長，只需求得PF的長，根據勾股定理進行計算PD的長就可；要求DM的長，只需AD-AM就可；
（2）根據黃金分割點的定義，只需證明AM²=AD•DM．

解答：解：（1）在Rt△APD中，AP=1cm，AD=2cm，
由勾股定理知PD=

AD2+AP2

=

4+1

=

5

cm，
∴AM=AF=PF-AP=PD-AP=

5

-1（cm）
DM=AD-AM=3-

5

（cm）；

（2）∵AM²=（

5

-1）²=6-2

5

，
AD•DM=2×（3-

5

）=6-2

5

，
∴AM²=AD•DM，
所以點M是線段AD的黃金分割點．

點評：能夠根據已知條件結合勾股定理求得線段的長，能夠用黃金分割點的定義進行證明．