Question

（2001•南京）以長(zhǎng)為2cm的定線段AB為邊，作正方形ABCD，取AB的中點(diǎn)P．在BA的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，使PF=PD，以AF為邊作正方形AMEF，點(diǎn)M落在AD上，如圖所示．
（1）試求AM、DM的長(zhǎng)；
（2）點(diǎn)M是線段AD的黃金分割點(diǎn)嗎？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求AM的長(zhǎng)，即是求AF的長(zhǎng)，只需求得PF的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算PD的長(zhǎng)就可；要求DM的長(zhǎng)，只需AD-AM就可；
（2）根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，只需證明AM²=AD•DM．
解答：解：（1）在Rt△APD中，AP=1，AD=2，
由勾股定理知PD===，
∴AM=AF=PF-AP=PD-AP=-1，
DM=AD-AM=3-；

（2）∵AM²=（）²=6-2，
AD•DM=2×（3-）=6-2，
∴AM²=AD•DM，
所以點(diǎn)M是線段AD的黃金分割點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：能夠根據(jù)已知條件結(jié)合勾股定理求得線段的長(zhǎng)，能夠用黃金分割點(diǎn)的定義進(jìn)行證明．