Question

如圖所示，過點F（0，1）的直線y=kx+b與拋物線交于M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）兩點（其中x₁＜0，x₂＞0）．
（1）求b的值；
（2）求x₁•x₂的值；
（3）分別過M、N作直線l：y=-1的垂線，垂足分別是M₁、N₁．
①判斷△M₁FN₁的形狀，并證明你的結論．
②直線l：y=-1和以MN為直徑的圓是否相切．請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點F的坐標代入直線的解析式y=kx+b可以確定b的值；
（2）聯立直線與拋物線，代入（1）中求出的b值，利用根與系數的關系可以求出x₁•x₂的值．
（3）①確定M₁，N₁的坐標，利用兩點間的距離公式，分別求出M₁F²，N₁F²，M₁N₁²，然后用勾股定理判斷三角形的形狀．
②過M作MH⊥NN₁于H，分別取MN和M₁N₁的中點P，P₁，證明線段MN的中點到直線l的距離等于MN長度的一半，即可得到以MN為直徑的圓與l相切．
解答：解：（1）∵直線y=kx+b過點F（0，1），∴b=1；

（2）∵直線y=kx+b與拋物線y=x2交于M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）兩點，
∴可以得出：kx+b=x²，
整理得：x²-kx-1=0，
∵a=b=-k，c=-1
∴x₁•x₂==-4；
（3）①△M₁FN₁是直角三角形（F點是直角頂點）．
理由如下：設直線l與y軸的交點是F₁，
FM₁²=FF₁²+M₁F₁²=x₁²+4，
FN₁²=FF₁²+F₁N₁²=x₂²+4，
M₁N₁²=（x₁-x₂）²=x₁²+x₂²-2x₁x₂=x₁²+x₂²+8，
∴FM₁²+FN₁²=M₁N₁²，
∴△M₁FN₁是以F點為直角頂點的直角三角形．

②y=-1和以MN為直徑的圓相切，
理由如下：
過M作MH⊥NN₁于H，MN²=MH²+NH²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²，
=（x₁-x₂）²+[（kx₁+1）-（kx₂+1）]²，
=（x₁-x₂）²+k²（x₁-x₂）²，
=（k²+1）（x₁-x₂）²，
=（k²+1）[（x₁+x₂）²-4x₁•x₂]
=（k²+1）（16k²+16）
=16（k²+1）²，
∴MN=4（k²+1），
分別取MN和M₁N₁的中點P，P₁，
PP₁=（MM₁+NN₁）=（y₁+1+y₂+1）=（y₁+y₂）+1=k（x₁+x₂）+2=2k²+2，
∴PP₁=MN，
即線段MN的中點到直線l的距離等于MN長度的一半．
∴以MN為直徑的圓與l相切．
點評：本題考查的是二次函數的綜合題，用到的知識點有一元二次方程根與系數的關心直角三角形的判定、勾股定理、直線和圓相切的判定定理，題目的綜合性不小，對學生解題能力的要求也很高．