Question

11．如圖，已知△ABC中，點D在AB上，且CD=AD=BD，點F在BC上，過D作DE⊥DF交AC于E，過F作FG⊥AB于G，以下結論：①△ABC為直角三角形，②BF²+DG²=DF²+BG²，③AE²+BF²=CE²+CF²，④AG²=AC²+BG²，其中結論正確的序號是（　　）

• A． ①②
• B． ①④
• C． ①②③
• D． ①②③④

Answer 1

分析 根據在△ABC中，點D在AB上，且CD=AD=BD，點F在BC上，過D作DE⊥DF交AC于E，過F作FG⊥AB于G，可得∠A=∠DCA，∠DCB=∠B，又根據三角形內角和，可以求得∠ACD=90°，從而判斷①；再根據題目中的垂直條件，可以通過轉化得到②是否正確；點F在BC上，無法確定BF與CF是否相等，由此可以判斷③④是否成立．

解答 解：∵CD=AD=BD，
∴∠A=∠DCA，∠DCB=∠B，
∵∠A+∠DCA+∠DCB+∠B=180°，
∴∠A+∠B=∠ACD+∠BCD=90°，
∴△ABC為直角三角形，
故①正確；
∵FG⊥AB，
∴BF²-BG²=DF²-DG²=FG²，
∴BF²+DG²=DF²+BG²，
故②正確；
∵CD=AD=BD，DE⊥AC，FG⊥BA，
∴AE=EC，
∵點F在BC上，
∴CF與BF不一定相等，
∴AE²+BF²不一定等于CE²+CF²，
故③錯誤；
④AG²=AC²+BG²，
∵FG⊥AB，
∴AG²=AF²-FG²，BG²=BF²-GF²
∴AC²+BG²=AC²+BF²-FG²，
∵點F在BC上，
∴CF與BF不一定相等，
∴AG²不一定等于AC²+BG²，
故④錯誤，
故選A．

點評 本題考查勾股定理和勾股定理的逆定理，解題的關鍵是靈活運用勾股定理和勾股定理的逆定理解答問題．