Question

已知：如圖，等腰△ABC中，底邊BC=12，高AD=6．
（1）在△ABC內作矩形EFGH，使F、G在BC上，E、H分別在AB、AC上，且長是寬的2倍．求矩形EFGH的面積．
（2）在（1）的基礎上，再作第二個矩形，使其兩個頂點在EH上，另外兩個頂點分別在AB、AC上，且長是寬的2倍．則第二個矩形的面積為

 

；
（3）在（2）的基礎上，再作第三個矩形，使其兩個頂點在第二個矩形的邊上，另外兩個頂點分別在AB、AC上，且長是寬的2倍．則第三個矩形的面積為

 

；
（4）按照這樣的方式做下去，根據上述計算猜想第四個矩形的面積為

 

；第n個矩形的面積為

 

．

Answer 1

分析：（1）由題意推出△AEH∽△ABC，設出矩形的長為2x，然后用x表示出EH、AK，根據相似三角形的性質即可推出矩形的邊長，即可推出矩形的性質，（2）求出EH、AK的長度以后，根據（1）的論證道理，即可推出第二個矩形的面積，（3）同理，即可推出第三個矩形的面積，（4）根據第一、第二、第三個矩形面積推理過程即可推出第四個矩形的面積，通過分析總結，即可得出第n個矩形的面積．

解答：（1）設矩形EFGH的寬為x，長為2x，則由△AEH∽△ABC，
得：

EH

BC

=

AK

AD

，即：

2x

12

=

6-x

6

，解得：x=3．
∴矩形EFGH的面積為3×6=18．（4分）

（2）由（1）得：EH=6，AK=3，
∴第二個矩形的面積為：

9

2

；（5分）

（3）根據（1）和（2）的結論，同理第三個矩形的面積為：

9

8

；（6分）

（4）根據（1）（2）（3）所得的結論可以推出第四個三角形的面積為：

9

25

，第n個三角形的面積為：

9

22n-3

．

點評：本題主要考查矩形的性質、形似三角形的判定和性質，關鍵在于求證有關的三角形相似．