Question

7、已知：如圖，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分別交AD、AC于E、F．求證：BE²=EF•EG．

Answer 1

分析：先連接CE，由于AB=AC，AD⊥BC，利用等腰三角形三線合一定理可得BE=CE，再利用等邊對等角可知∠EBC=∠ECB，易證∠ABE=∠ACE，結合CG∥AB，利用平行線的性質，可證∠CGF=∠FCE，再加上一組公共角，可證△CEF∽△GEC，于是CE²=EF•EG，從而有BE²=EF•EG．

解答：解：連接CE，如右圖所示，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD是∠BAC的角平分線，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
又∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC-∠EBC=∠ACB-∠ECB，
即∠ABE=∠ACE，
又∵CG∥AB，
∴∠ABE=∠CGF，
∴∠CGF=∠FCE，
又∠FEC=∠CEG，
∴△CEF∽△GEC，
∴CE：EF=EG：CE，
即CE²=EF•EG，
又CE=BE，
∴BE²=EF•EG．

點評：本題考查了等腰三角形的性質、等腰三角形三線合一定理、平行線的性質、相似三角形的判定和性質．關鍵是能根據所證連接CE．