Question

閱讀理解：
當a＞0且x＞0時，因為(

x

-

a

x

)2≥0，所以x-2

a

+

a

x

≥0，從而x+

a

x

≥2

a

（當x=

a

時取等號）．設y=x+

a

x

(a＞0，x＞0)，由上述結論可知：當x=

a

時，y有最小值為2

a

．
直接應用：已知y₁=x（x＞0）與y2=

1

x

(x＞0)，則當x=

1

時，y₁+y₂取得最小值為

2

．
變形應用：已知y₁=x+1（x＞-1）與y2=(x+1)2+4(x＞-1)，求

y2

y1

的最小值，并指出取得該最小值時相應的x的值．
實戰演練：
在平面直角坐標系中，點A（-3，0），點B（0，-2）．點P是函數y=

6

x

在第一象限內圖象上的一個動點，過P點作PC垂直于x軸，PD垂直于y軸，垂足分別為點C、D．設點P的橫坐標為x，四邊形ABCD的面積為S．
（1）求S和x之間的函數關系；
（2）求S的最小值，判斷此時的四邊形ABCD是何特殊的四邊形，并說明理由．

Answer 1

分析：直接運用：可以直接套用題意所給的結論，即可得出結果．
變形運用：先得出

y2

y1

的表達式，然后將（x+1）看做一個整體，繼而再運用所給結論即可．
實戰演練：（1）根據S=S_△AOD+S_△AOB+S_△BOC+S_△DOC，進而求出S與x之間的關系求出最值即可；
（2）利用（1）中所求數據，進而得出DC=AD=AB=BC得出答案即可．

解答：解：直接應用：
∵函數y=x+

a

x

（a＞0，x＞0），由上述結論可知：當x=

a

時，該函數有最小值為2

a

．
∴函數y₁=x（x＞0）與函數y₂=

1

x

（x＞0），則當x=1時，y₁+y₂取得最小值為2．
故答案為：1，2；

變形應用
已知函數y₁=x+1（x＞-1）與函數y₂=（x+1）²+4（x＞-1），
則

y2

y1

=

(x+1)2+4

x+1

=（x+1）+

4

x+1

的最小值為：2

4

=4，
∵當（x+1）+

4

x+1

=4時，
整理得出：x²-2x+1=0，
解得：x₁=x₂=1，
檢驗：x=1時，x+1=2≠0，
故x=1是原方程的解，
故

y2

y1

的最小值為4，相應的x的值為1；

實戰演練：
（1）S=S_△AOD+S_△AOB+S_△BOC+S_△DOC，
=

1

2

×3×

6

x

+

1

2

×2×3+

1

2

×2×x+

1

2

×x×

6

x

，
=x+

9

x

+6．
故x=3時，最大s的最小=2×3+6=12．

（2）當x=3時，CO=3，DO=

6

x

=2，
則DC=

32+22

=

13

，AD=

32+22

=

13

，AB=

32+22

=

13

，BC=

32+22

=

13

，
即DC=AD=AB=BC，
故此時的四邊形ABCD是菱形．

點評：此題考查了反比例函數的應用及幾何不等式的知識和菱形的判定等知識，題目出的比較新穎，解答本題的關鍵是仔細審題，理解題意所給的結論，達到學以致用的目的．