Question

【題目】如圖，已知二次函數y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于點A（1，0）、B（3，0），與y軸交于點C．

（1）求二次函數的解析式；

（2）若點P為拋物線上的一點，點F為對稱軸上的一點，且以點A、B、P、F為頂點的四邊形為平行四邊形，求點P的坐標；

（3）點E是二次函數第四象限圖象上一點，過點E作x軸的垂線，交直線BC于點D，求四邊形AEBD面積的最大值及此時點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）點P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）最大值為 ，E（，﹣）．

【解析】

（1）用交點式函數表達式，即可求解；

（2）分當AB為平行四邊形一條邊、對角線，兩種情況，分別求解即可；

（3）利用S四邊形AEBD＝AB（yD﹣yE），即可求解．

解：（1）用交點式函數表達式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；

故二次函數表達式為：y＝x2﹣4x+3；

（2）①當AB為平行四邊形一條邊時，如圖1，

則AB＝PE＝2，

則點P坐標為（4，3），

當點P在對稱軸左側時，即點C的位置，點A、B、P、F為頂點的四邊形為平行四邊形，

故：點P（4，3）或（0，3）；

②當AB是四邊形的對角線時，如圖2，

AB中點坐標為（2，0）

設點P的橫坐標為m，點F的橫坐標為2，其中點坐標為： ，

即：＝2，解得：m＝2，

故點P（2，﹣1）；

故：點P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；

（3）直線BC的表達式為：y＝﹣x+3，

設點E坐標為（x，x2﹣4x+3），則點D（x，﹣x+3），

S四邊形AEBD＝AB（yD﹣yE）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，

∵﹣1＜0，故四邊形AEBD面積有最大值，

當x＝，其最大值為，此時點E（，﹣）．