Question

【題目】如圖1，已知扇形MON的半徑為，∠MON=90°，點B在弧MN上移動，聯結BM，作OD⊥BM，垂足為點D，C為線段OD上一點，且OC=BM，聯結BC并延長交半徑OM于點A，設OA=x，∠COM的正切值為y.

（1）如圖2，當AB⊥OM時，求證：AM=AC；

（2）求y關于x的函數關系式，并寫出定義域；

（3）當△OAC為等腰三角形時，求x的值.

Answer 1

【答案】 (1)證明見解析;(2) .();(3) .

【解析】分析：（1）先判斷出∠ABM=∠DOM，進而判斷出△OAC≌△BAM，即可得出結論；

（2）先判斷出BD=DM，進而得出，進而得出AE=，再判斷出，即可得出結論；

（3）分三種情況利用勾股定理或判斷出不存在，即可得出結論．

詳解：（1）∵OD⊥BM，AB⊥OM，∴∠ODM=∠BAM=90°．

∵∠ABM+∠M=∠DOM+∠M，∴∠ABM=∠DOM．

∵∠OAC=∠BAM，OC=BM，∴△OAC≌△BAM，

∴AC=AM．

（2）如圖2，過點D作DE∥AB，交OM于點E．

∵OB=OM，OD⊥BM，∴BD=DM．

∵DE∥AB，∴，∴AE=EM．∵OM=，∴AE=．

∵DE∥AB，∴，

∴．（）

（3）（i） 當OA=OC時．∵．在Rt△ODM中，．

∵．解得，或（舍）．

（ii）當AO=AC時，則∠AOC=∠ACO．∵∠ACO＞∠COB，∠COB=∠AOC，∴∠ACO＞∠AOC，∴此種情況不存在．

（ⅲ）當CO=CA時，則∠COA=∠CAO=α．∵∠CAO＞∠M，∠M=90°﹣α，∴α＞90°﹣α，∴α＞45°，∴∠BOA=2α＞90°．∵∠BOA≤90°，∴此種情況不存在．

即：當△OAC為等腰三角形時，x的值為．