Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AC，∠B=45°，AD=2，BC=6，以BC所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，點A在y軸上．
（1）求過A、D、C三點的拋物線的解析式．
（2）求△ADC的外接圓的圓心M的坐標，并求⊙M的半徑．
（3）E為拋物線對稱軸上一點，F為y軸上一點，求當ED+EC+FD+FC最小時，EF的長．
（4）設Q為射線CB上任意一點，點P為對稱軸左側拋物線上任意一點，問是否存在這樣的點P、Q，使得以P、Q、C為頂點的△與△ADC相似？若存在，直接寫出點P、Q的坐標；若不存在，則說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過D作x軸垂線，由拋物線的對稱性可知拋物線與x軸另一交點為（-1，0）．再根據交點式即可求出過A、D、C三點的拋物線的解析式；
（2）由外接圓知識知M為對稱軸與AC中垂線的交點．由等腰直角三角形性質可得M點的坐標，連MC得MC=，即為半徑；
（3）由對稱性可知：當ED+EC+FD+FC最小時，E為對稱軸與AC交點，F為BD與y軸交點，再根據待定系數法求出BD直線解析式，從而得到E，F的坐標，再根據兩點坐標公式即可求得EF的長；
（4）先求出直線CP的解析式為y=x-3或y=-x+3，再分情況討論求得以P、Q、C為頂點的三角形與△ADC相似時點P、Q的坐標．
解答：解：（1）由題意知C（3，0）、A（0，3）．
如圖1，過D作x軸垂線，由矩形性質得D（2，3）．
由拋物線的對稱性可知拋物線與x軸另一交點為（-1，0）．
設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）．
將（0，3）代入得a=-1，所以y=-x²+2x+3．

（2）由外接圓知識知M為對稱軸與AC中垂線的交點．
由等腰直角三角形性質得OM平分∠AOC，即y_OM=x，
∴M（1，1）．
連MC得MC=，即半徑為．

（3）如圖2，由對稱性可知：當ED+EC+FD+FC最小時，E為對稱軸與AC交點，F為BD與y軸交點，
∵∠B=45°，∠AOB=90°，
∴AO=BO=3，故B點坐標為：（-3，0），
再利用D（2，3），代入y=ax+b，得：
，
解得：，
故BD直線解析式為：y=x+，
當x=0，y=，根據對稱軸為直線x=1，則y=2，
故F（0，）、E（1，2），
EF===．

（4）可得△ADC中，AD=2，AC=，DC=．
假設存在，顯然∠QCP＜90°，則∠QCP=45°或∠QCP=∠CAD．
如圖3，當∠QCP=45°時，OR=OC=3，
則R點坐標為（0，-3），將C，R代入y=ax+b得出：
，
解得：，
這時直線CP的解析式為y=x-3，同理可得另一解析式為：y=-x+3．
當直線CP的解析式為y=x-3時，
則x-3=-x²+2x+3，
解得：x₁=-2，x₂=3，
可求得P（-2，-5），
故PC==5．
設CQ=x，則，
解得：x=或x=15．
∴Q （-，0）或（-12，0）．
當y=-x+3即P與A重合時，CQ=y，則=，
即=，或=，
解得CQ=2或9，
故Q （1，0）或（-6，0）．
如圖4，當∠QCP=∠ACD時，設CP交y軸于H，連接ED，則ED⊥AC，
∴DE=，EC=2，
易證：△CDE∽△CHQ，
所以=，
∴HO=．
可求HC的解析式為y=x-．
聯解，
得P（-，-），PC=．
設CQ=x，知，
∴x=或x=，
∴Q（-，0）或（-，0）．
同理當H在y軸正半軸上時，HC的解析式為y=-x+．
∴P’（-，），
∴PC=．
∴，
∴CQ=或，所以Q（，0）或（-，0）．
綜上所述，P₁（-2，-5）、Q₁（-，0）或（-12，0）；P₂（0，3）、Q₂（1，0）或（-6，0）；P₃（-，-）、Q₃（-，0）或（-，0）；P₄（-，）、Q₄（，0）或（-，0）．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的對稱軸公式和三角函數關系等知識，利用三角形三邊關系得出|TM-TF|是解題關鍵．