Question

4、把1，2，3…，127，128這128個數任意排列為a₁，a₂，…，a₁₂₈，計算出|a₁-a₂|，|a₃-a₄|，…，|a₁₂₇-a₁₂₈|，再將這64個數任意排列為b₁，b₂，…，b₆₄，計算|b₁-b₂|，|b₃-b₄|，…，|b₆₃-b₆₄|．如此繼續下去，最后得到一個數x，問x是奇數還是偶數？

Answer 1

分析：對于一個整數a，有|a|≡a（mod2），a≡-a（mod2），則b₁+b₂+…+b₆₄≡a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₁₂₇+a₁₂₈（mod2），因此，每經過一次“運算”，這些數的和的奇偶性是不改變的．最終得到的一個數x≡a₁+a₂+…+a₁₂₈≡0（mod2），故x的奇偶性可知．

解答：解：因為對于一個整數a，有
|a|≡a（mod2），a≡-a（mod2），
所以b₁+b₂+…+b₆₄
=|a₁-a₂|+|a₃-a₄|+…+|a₁₂₇-a₁₂₈|
≡a₁-a₂+a₃-a₄+…+a₁₂₇-a₁₂₈
≡a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₁₂₇+a₁₂₈（mod2），
因此，每經過一次“運算”，這些數的和的奇偶性是不改變的．最終得到的一個數
x≡a₁+a₂+…+a₁₂₈
=1+2+…+128
=64×129
≡0（mod2），
故x是偶數．

點評：本題考查了同余問題．如果要求一個整數除以某個正整數的余數，同余是一個有力的工具．另外，求一個數的末位數字就是求這個數除以10的余數，求一個數的末兩位數字就是求這個數除以100的余數．