Question

【題目】綜合與探究：如圖，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c與一直線相交于A(－1，0)，C (2，3)兩點，與y軸交于點N，其頂點為D 。

（1）確定拋物線及直線AC的函數關系式；

（2）點M在直線x =3上，求使 MN＋MD 的值最小時的M點坐標；

（3）若拋物線的對稱軸與直線AC 相交于點B，E 為直線AC 上的任意一點，過點E 作EF∥BD 交拋物線于點F，以B、D、E、F 為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E 的坐標；若不能，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3，直線AC為y=x+1．（2）M（3，）；（3）E（0，1）或（，）或（，）．

【解析】

試題分析：（1）將點A、C的坐標代入拋物線解析式可得出b、c的值，繼而得出拋物線解析式，利用待定系數法可求出AC的函數解析式；

（2）利用軸對稱求最短路徑的知識，找到N點關于直線x=3的對稱點N′，連接N'D，N'D與直線x=3的交點即是點M的位置，繼而求出m的值．

（3）設出點E的坐標，分情況討論，①當點E在線段AC上時，點F在點E上方，②當點E在線段AC（或CA）延長線上時，點F在點E下方，根據平行四邊形的性質表示出F的坐標，將點F的坐標代入拋物線解析式可得出x的值，繼而求出點E的坐標．

試題解析：（1）由拋物線y=-x2+bx+c過點A（-1，0）及C（2，3），可得：

，解得：，

故拋物線為y=-x2+2x+3，

設直線AC解析式為y=kx+n，將點A（-1，0）、C（2，3）代入得：

，解得：，

故直線AC為y=x+1．

（2）作N點關于直線x=3的對稱點N′，則N′（6，3），由（1）得D（1，4），

可求出直線DN′的函數關系式為y=-x+，

當M（3，m）在直線DN′上時，MN+MD的值最小，

則m=-×3+=．

∴M（3，）

（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）

點E在直線AC上，設E（x，x+1），

①當點E在線段AC上時，點F在點E上方，則F（x，x+3），

∵F在拋物線上，

∴x+3=-x2+2x+3

解得，x=0或x=1（舍去），

則點E的坐標為：（0，1）．

②當點E在線段AC（或CA）延長線上時，點F在點E下方，則F（x，x-1），

∵點F在拋物線上，

∴x-1=-x2+2x+3，

解得x=或x=，

即點E的坐標為：（，）或（，）

綜上可得滿足條件的點E為E（0，1）或（，）或（，）．