Question

9．如圖，AB是半圓的直徑，C、D是半圓上的兩點，且∠BAC=20°，$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，求：∠BCD的度數．

Answer 1

分析 連結BC，如圖，根據圓周角定理得∠ACB=90°，則利用互余可計算出∠B=70°，再根據圓內接四邊形的性質計算出∠D=180°-∠B=110°，接著根據圓周角定理和三角形內角和定理，由弧AD=弧CD得到∠DAC=∠DCA=35°，然后得到∠DCB=∠DCA+∠ACB=125°．

解答 解：連結BC，如圖，
∵AB是半圓的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=20°，
∴∠B=70°，
∵四邊形ABCD是圓O的內接四邊形，
∴∠D=180°-∠B=110°，
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠DAC=∠DCA=$\frac{1}{2}$（180°-110°）=35°，
∴∠DCB=∠DCA+∠ACB=125°．

點評 本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了圓內接四邊形的性質．