Question

【題目】如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，點D，E在⊙O上，連接AE，DE，CD，BE，CE，∠EAC+∠BAE=180°，．

（1）判斷BE與CE之間的數量關系，并說明理由；

（2）求證：△ABE≌△DCE；

（3）若∠EAC=60°，BC=8，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）BE=CE，理由見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】分析：（1）由A、B、C、E四點共圓的性質得：∠BCE+∠BAE=180°，則∠BCE=∠EAC，所以，則弦相等；（2）根據SSS證明△ABE≌△DCE；

（3）作BC和BE兩弦的弦心距，證明Rt△GBO≌Rt△HBO（HL），則∠OBH=30°，設OH=x，則OB=2x，根據勾股定理列方程求出x的值，可得半徑的長．

本題解析：

（1）解：BE=CE，

理由：∵∠EAC+∠BAE=180°，∠BCE+∠BAE=180°，

∴∠BCE=∠EAC，

∴，

∴BE=CE；

（2）證明：∵，∴AB=CD，

∵， ，∴AE=ED，

由（1）得：BE=CE，

在△ABE和△DCE中，

∵ ，

∴△ABE≌△DCE（SSS）；

（3）解：如圖，∵過O作OG⊥BE于G，OH⊥BC于H，

∴BH=BC=×8=4，BG=BE，

∵BE=CE，∠EBC=∠EAC=60°，

∴△BEC是等邊三角形，∴BE=BC，∴BH=BG，

∵OB=OB，∴Rt△GBO≌Rt△HBO（HL），

∴∠OBH=∠GBO=∠EBC=30°，

設OH=x，則OB=2x，

由勾股定理得：（2x）2=x2+42，x=，

∴OB=2x=，∴⊙O的半徑為．