Question

等腰直角三角形ABC的斜邊BC的長為8，直線MN∥BC且與AB、AC分別交于M、N，將△AMN沿直線MN翻折得△A′MN，設△A′MN與△ABC重合部分面積為y，MN=x，
（1）當A′在△ABC內部時，求y與x的函數關系式，并求x的取值范圍；
（2）是否存在直線MN，使y的值為△ABC面積的

1

3

？若存在，求對應的x值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為A′在ABC的內部，所以△A′MN的面積既是△AMN的面積，從而利用等腰直角三角形的性質即可得出y與x的函數關系式．
（2）先計算△ABC的面積，分情況進行討論：①當A′在BC邊上或在△ABC內部時，0＜y≤4，根據（1）的函數關系式可作出判斷；②當A′在△ABC外部時，求出梯形MNED的面積，結合題意可得出x的值，符合題意即存在，不符合則不存在．

解答：解：（1）y=S_△A′MN=

1

2

•

2

2

x•

2

2

x=

1

4

x²（0＜x＜4）；

（2）S_△ABC=

1

2

×8×4=16，當A′在BC上時，x=4，y=4，
∴①當A′在BC邊上或在△ABC內部時，0＜y≤4，

16

3

不在這個范圍內，所以這時不存在直線MN．
②當A′在△ABC外部時，連AA′交MN于F，交BC于G，且A′F=AF=

1

2

x，
∴FG=4-

1

2

x，
∴A′G=

1

2

x-4+

1

2

x=x-4，
∴DE=2A′G=2x-8，
∴y=

1

2

（x+2x-8）×（4-

1

2

x）=-

3

4

x²+8x-16（其中4＜x＜8），
當y=

16

3

時，
∵-

3

4

x²+8x-16=

16

3

，
即：（3x-16）²=0，
解為x₁=x₂=

16

3

，
∵4＜x＜8，
∴存在直線MN使重疊部分面積為△ABC面積的

1

3

，
此時x=

16

3

．

點評：本題考查翻折變換及等腰三角形的性質，綜合性較強，難度較大，解答本題的關鍵是正確的畫出示意圖，利用所學的知識表示出重疊的面積，要求同學們熟練基礎知識的掌握，此類綜合題一般要求對基礎知識比較熟悉才能解答出來．