Question

如圖，AC為正方形ABCD的一條對角線，點E為DA邊延長線上的一點，連接BE，在BE上取一點F，使BF=BC，過點B作BK⊥BE于B，交AC于點K，連接CF，交AB于點H，交BK于點G．
（1）求證：BH=BG； 
（2）求證：BE=BG+AE．

Answer 1

【答案】分析：（1）由四邊形ABCD是正方形，BK⊥BE，根據同角的余角相等，易證得∠FBH=∠CBG，又由BF=BC，利用等邊對等角，可得∠BFH=∠BCG，然后利用三角形外角的性質，即可證得∠BHG=∠BGH，即可得BH=BG；
（2）首先在BF上截取BN=BH，連接NH，AN交FC于O，易證得△BHF≌△BNA，然后可證得∠ENA=∠AHF，利用同角的余角相等，可證得∠EAN=∠ENA，即可得EN=AE，繼而可證得BE=BG+AE．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
即∠ABK+∠CBG=90°，
∵BK⊥BE，
∴∠ABK+∠FBH=90°，
∴∠FBH=∠CBG，
∵BF=BC，
∴∠BFH=∠BCG，
∵∠BHG=∠BFH+∠FBH，∠BGH=∠BCG+∠CBG，
∴∠BHG=∠BGH，
∴BH=BG；

（2）在BF上截取BN=BH，連接NH，AN交FC于O，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∵BF=BC，
∴BF=BA，
在△BHF和△BNA中，
，
∴△BHF≌△BNA（SAS），∴∠BFH=∠BAN，
在△FON和△AOH，∠BFH=∠BAN，∠FON=∠AOH（對頂角相等），
∴∠ENA=∠AHF，
∵∠AHF=∠BHC=90°-∠HCB，
∵∠BFH=∠BAN=∠HCB，
∴∠ENA=∠AHF=90°-∠BAN，
∵∠EAN=90°-∠BAN，
∴∠EAN=∠ENA，
∴NE=AE，
∴BE=BN+NE=BH+AE=BG+AE．
點評：此題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質以及等腰三角形的判定與性質．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．