Question

【題目】如圖，已知點、在直線上，且，于點，且，以為直徑在的左側作半圓，于，且.

（1）若半圓上有一點，則的最大值為________；

（2）向右沿直線平移得到；

①如圖，若截半圓的的長為，求的度數；

②當半圓與的邊相切時，求平移距離.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②

【解析】

（1）由圖可知當點F與點D重合時，AF最大，根據勾股定理即可求出此時AF的長；

（2）①連接EG、EH．根據的長為π可求得∠GEH=60°，可得△GEH是等邊三角形，根據等邊三角形的三個角都等于60°得出∠HGE=60°，可得EG//A'O，求得∠GEO=90°，得出△GEO是等腰直角三角形，求得∠EGO=45°，根據平角的定義即可求出∠A'GO的度數；

②分C'A'與半圓相切和B'A'與半圓相切兩種情況進行討論，利用切線的性質、勾股定理、切斜長定理等知識進行解答即可得出答案．

解：

（1）當點F與點D重合時，AF最大，

AF最大=AD==，

故答案為：；

（2）①連接、.

∵，

∴.

∵，

∴是等邊三角形，

∴.

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴.

②當切半圓于時，連接，則.

∵，

∴切半圓于點，

∴.

∵，

∴，

∴平移距離為.

當切半圓于時，連接并延長于點，

∵，，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴.

∵，

∴.