Question

（2007•韶關）如圖，AB是半⊙O的直徑，弦AC與AB成30°的角，AC=CD．
（1）求證：CD是半⊙O的切線；
（2）若OA=2，求AC的長．

Answer 1

【答案】分析：要證明CD是半⊙O的切線只要證明∠OCD=90°即可；
根據三角函數即可求得AC的長．
解答：（1）證明：連接OC．
∵OA=OC，∠A=30°，
∴∠A=∠ACO=30°，
∴∠COD=60°．
又∵AC=CD，
∴∠A=∠D=30度．
∴∠OCD=180°-60°-30°=90°，
∴CD是半⊙O的切線．

（2）解：連接BC．
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°．
在Rt△ABC中，∵cosA=，
∴AC=ABcos30°=4×，
∴AC=．
點評：此題考查學生對切線的判定及解直角三角形的綜合運用．