Question

（2007•韶關）如圖，四邊形ABCD中，AD不平行BC，現給出三個條件：①∠CAB=∠DBA，②AC=BD，③AD=BC．請你從上述三個條件中選擇兩個條件，使得加上這兩個條件后能夠推出ABCD是等腰梯形，并加以證明．（只需證明一種情況）

Answer 1

【答案】分析：有兩種方法，第一種是：①∠CAB=∠DBA，②AC=BD；第二種是：②AC=BD，③AD=BC，均可利用等腰梯形的判定方法進行驗證．
解答：解：第一種選擇：①∠CAB=∠DBA，②AC=BD．（1分）
證明：∵∠CAB=∠DBA，AC=BD，AB=BA，
∴△ACB≌△BDA．（3分）
∴AD=BC，∠ABC=∠BAD．（4分）
作DE∥BC交AB于E，如圖（1），則∠DEA=∠CBA，
∴∠DAE=∠DEA，AD=ED．（6分）
∴DE=BC，
∴四邊形DCBE是平行四邊形，
∴BE∥CD．即AB∥CD（8分）
又∵AD不平行BC，
∴ABCD是等腰梯形．（9分）

第二種選擇：②AC=BD，③AD=BC．（1分）
證明：延長AD、BC相交于E，如圖（2），（2分）
∵AC=BD，AD=BC，AB=BA，
∴△DAB≌△CBA．（3分）
∴∠DAB=∠CBA．（4分）
∴EA=EB．（5分）
又AD=BC，
∴DE=CE，∠EDC=∠ECD．
而，∠E+∠EAB+∠EBA=∠E+∠EDC+∠ECD，
∴∠EDC=∠EAB．（7分）
∴DC∥AB．（8分）
又∵AD不平行BC，
∴ABCD是等腰梯形．（9分）
說明：由①、③不能推出ABCD是等腰梯形，反例見圖：
點評：此題一道開放性的題目，主要考查學生對等腰梯形的判定的掌握情況．