Question

16．閱讀下列材料：
1×2=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2）
2×3=$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3）
3×4=$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4）
以上三個等式相加可得：
1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2）+$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3）+$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4）=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3×4×5-2×3×4）=$\frac{1}{3}$（3×4×5-0×1×2）=20
（1）計算：1×2+2×3+3×4+…+9×10+10×11（寫出過程）；
（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）；（直接寫出過程）
（3）根據上述方法，計算1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9．

Answer 1

分析 （1）利用已知材料得出原式=$\frac{1}{3}$×10×11×12，進而求出即可；
（2）利用（1）中所求，進而求出即可；
（3）仿照已知得出原式=$\frac{1}{4}$（1×2×3×4）+$\frac{1}{4}$（2×3×4×5-1×2×3×4）+$\frac{1}{4}$（3×4×5×6-2×3×4×5）+…+$\frac{1}{4}$（9×10×11×12-8×9×10×11）進而求出即可．

解答 解：（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11
=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2）+$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3）+$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4）+…+$\frac{1}{3}$（10×11×12-9×10×11）
=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+10×11×12-9×10×11）
=$\frac{1}{3}$×10×11×12
=440；

（2）1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）
=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2）+$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3）+$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4）+…+$\frac{1}{3}$[n×（n+1）×（n+2）-（n-1）×n×（n+1）]
=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）；

（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9
=$\frac{1}{4}$（1×2×3×4）+$\frac{1}{4}$（2×3×4×5-1×2×3×4）+$\frac{1}{4}$（3×4×5×6-2×3×4×5）+…+$\frac{1}{4}$（8×9×10×11-7×8×9×10）
=$\frac{1}{4}$×8×9×10×11
=1980．

點評 此題考查數字的變化規律，找出數字之間的運算規律，利用找出的規律解決問題．