Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，AB=4，點E是BC上一點，且tan∠BAE=，點F是CD的中點，連接AE、BF將△ABE著點E按順時針方向旋轉，使點B落在BF上的B1處位置處，點A經過旋轉落在A1點位置處，連接AA1交BF于點N．

（1）求證：∠BFC=∠A1 B1F；

（2）說明點N是AA1的中點；

（3）求AN的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析； （2）詳見解析；（3）．

【解析】試題分析：（1）已知四邊形ABCD是正方形，根據正方形的性質可得AB∥CD，即可得∠ABF=∠CFB，由旋轉的性質可得EB=EB1，根據等腰三角形的性質可得∠EBB1=∠EB1B，再由∠ABC=∠EB1A1=90°，即可得∠ABF+∠EBB′=90°，∠BB1E+∠A1B1F=90°，所以∠A1B1F=∠ABF=∠BFC；（2）作EP⊥BF，A1Q⊥BF，取BC的中點M，連接AB1，B1M，可得點P是BB1的中點，根據三角形的中位線定理可得EP∥MB1，即可得MB1⊥BB1；易證△BPE∽△BCF，即可求得BP=，EP=，從而求得BB1= ，再證明A，B1，M三點共線，即可得AB1=，再證明△AB1N≌△A1QN，即可得AN=A1N，從而證得N是AA1的中點；（3）由△AB1N≌△A1QN，可得B1N=B1Q=，根據勾股定理即可求得AN=．

試題解析：

（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，

∴∠ABF=∠CFB，

∵EB=EB1，

∴∠EBB1=∠EB1B，

∵∠ABC=∠EB1A1=90°，

∴∠ABF+∠EBB′=90°，∠BB1E+∠A1B1F=90°，

∴∠A1B1F=∠ABF=∠BFC．

（2）作EP⊥BF，A1Q⊥BF，取BC的中點M，連接AB1，B1M，

∴點P是BB1的中點，

∵E是BM中點，

∴EP∥MB1，

∴MB1⊥BB1，

由旋轉得，△BPE∽△BCF，

∴BP=，EP=，

∵PB1=PB=，

∴BB1=，

∵sin∠FBC===，

∴∠AB1B=90°，

∴A，B1，M三點共線，

∴AB1=，

∵∠B1A1Q=∠BB1E=∠FBC，

∴△B1QA1∽△FCB，

∴B1Q=，A1Q==AB1，

∴△AB1N≌△A1QN，

∴AN=A1N，

∴N是AA1的中點．

（3）∵△AB1N≌△A1QN，

∴B1N=B1Q=，

根據勾股定理得，AN==．