Question

（1）嘗試：如圖，已知A、E、B三點在同一直線上，且∠A=∠B=∠DEC=90°，
求證：AE•BE=AD•BC．
（2）一位同學在嘗試了上題后還發現：如圖2、圖3，只要A、E、B三點在同一直線上，且∠A=∠B=∠DEC，則（1）中結論總成立．你同意嗎？請選擇其中之一說明理由．

（3）運用：如圖，四邊形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=4，BC=9，P為BC邊上一動點（不與點B、C重合），連接AP，過點P作PE交CD于點E，使得∠APE=∠ABC．則當BP為何值時，點E為CD的中點．

Answer 1

（1）證明：∵∠A=∠B=∠DEC=90°，
∴∠DEA+∠CEB=90°，
∵∠DEA+∠D=90°，
∴∠D=∠CEB，
∴△ADE∽△BEC，
∴，
∴AE•BE=AD•BC；

（2）證明：∵∠A=∠B=∠DEC，
∠A+∠D=∠1+∠CEB，
∴∠D=∠CEB，
∴△ADE∽△BEC，
∴，
∴AE•BE=AD•BC；

（3）解：∵四邊形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∠APE=∠ABC
∴∠B=∠C，∠B+∠BAP=∠APE+∠EPC，
∴∠BAP=∠EPC，
∴△ABP∽△PCE，
∴，
∵AB=4，BC=9，點E為CD的中點，
∴CE=2，假設BP=x，
∴，
∴x²-9x+8=0，
解得：x₁=1，x₂=8．
∴當BP為1或8時，點E為CD的中點．
分析：（1）利用已知得出∠D=∠CEB，以及∠A=∠B即可得出△ADE∽△BEC，即可得出答案；
（2）利用已知得出∠D=∠CEB，進而求出△ADE∽△BEC，即可得出；
（3）假設點E為CD的中點，利用△ABP∽△PCE，得出比例式求出即可．
點評：此題主要考查了相似三角形的性質與判定，相似三角形的判定是初中階段考查的重點同學們應重點掌握．