Question

19．如圖，在△ABC中，AB=AC，D、A、E在直線m上，∠ADB=∠AEC=∠BAC．
（1）求證：DE=DB+EC；
（2）若∠BAC=120°，AF平分∠BAC，且AF=AB，連接FD、FE，請判斷△DEF的形狀，并寫出證明過程．

Answer 1

分析 （1）由∠ADB=∠AEC=∠BAC，于是得到∠ADB+∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠BAC+∠EAC=180°，推出∠ABD=∠EAC，證得△ABD≌△AEC，根據全等三角形的性質得到BD=AE，然后根據線段的和差即可得到結論；
（2）由等邊三角形的性質就可以求出∠BAC=120°，就可以得出△BAD≌△ACE，就有BD=AE，進而得出△BDF≌△AEF，得出DF=EF，∠BFD=∠AFE，進而得出∠DFE=60°，就有△DEF為等邊三角形．

解答 （1）證明：∵∠ADB=∠AEC=∠BAC，
∴∠ADB+∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠BAC+∠EAC=180°，
∴∠ABD=∠EAC，
在△ABD與△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠AEC}\\{∠ABD=∠EAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AEC，
∴BD=AE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=DB+EC；

（2）△DEF為等邊三角形
理由：∵△ABF和△ACF均為等邊三角形
∴BF=AF=AB=AC=CF，∠BAF=∠CAF=∠ABF=60°，
∴∠BDA=∠AEC=∠BAC=120°，
∴∠DBA+∠DAB=∠CAE+∠DAB=60°，
∴∠DBA=∠CAE．
在△BAD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDA=∠AEC}\\{∠DBA=∠CAE}\\{BA=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴BD=AE，∠DBA=∠CAE．
∵∠ABF=∠CAF=60°，
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF=∠FAE．
在△BDF和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{FB=FA}\\{∠DBF=∠FAE}\\{BD=AE}\end{array}\right.$，
∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，
∴△DEF為等邊三角形．

點評 本題考查了全等三角形的判定及性質的運用．等邊三角形的判定及性質的運用，等式的性質的運用，解答時證明三角形的全等是關鍵．