Question

已知：等腰三角形ABC的兩腰AC和BC長為5厘米，底邊AB長為6厘米，如圖，現有一長為1厘米的線段MN在△ABC的底邊AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B點運動（運動開始時，點M與點A重合，點N到達點B時運動終止），過點M、N分別作AB邊的垂線，與△ABC的其它邊交于P、Q兩點，線段MN運動的時間為t秒．
（1）t=______時，Q點與C重合；此時PM=______厘米；
（2）線段MN在運動的過程中，t為何值時，四邊形MNQP恰為矩形？并求出該矩形的面積；
（3）線段MN在運動的過程中，四邊形MNQP的面積為S，運動的時間為t．求P、Q兩點都在AC邊上時四邊形MNQP的面積S隨運動時間t變化的函數關系式；
（4）簡要說明從運動開始到終止四邊形MNQP的面積S是如何變化的．

Answer 1

【答案】分析：（1）Q點與C重合時，先由等腰三角形三線合一的性質得出AN=AB=3，則AM=AN-MN=2，根據時間=路程÷速度求出t的值；然后在Rt△ACN中，運用勾股定理得到CN=4，再由PM∥CN，
得出△APM∽△ACN，根據相似三角形對應邊的比相等即可求出PM的長；
（2）過點C作CD⊥AB，垂足為D．當PQ∥AB時即可得出四邊形MNQP是矩形，根據特殊角的三角函數值求出四邊形MNQP的面積；
（3）P、Q兩點都在AC邊上時，先利用∠A的正切值表示出PM、QN，然后根據梯形的面積公式列式整理即可得到S與t的函數關系式；
（4）分別求出點P在AC上，點Q在BC上與點P、Q都在BC上時四邊形MNQP的面積，結合（3）得出線段MN在整個運動過程中四邊形MNQP的面積S隨運動時間t變化的函數關系式，根據函數的增減性即可求解．
解答：解：（1）Q點與C重合時，如圖1．
∵AC=BC=5，AB=6，CN⊥AB，
∴AN=BN=AB=3，
∵MN=1，
∴AM=AN-MN=3-1=2，
∵MN的運動速度為1厘米/秒，
∴t=2÷1=2（秒）．
在Rt△ACN中，∵∠ANC=90°，
∴CN===4．
∵PM∥CN，
∴△APM∽△ACN，
∴=，即=，
∴PM=．
故答案為2，；

（2）如圖2，過點C作CD⊥AB，垂足為D，則AD=3，
當MN運動到被CD垂直平分時，四邊形MNQP是矩形，
即當AM=3-=時，四邊形MNQP是矩形，
∴t=秒時，四邊形MNQP是矩形，
∵PM=AMtan∠A=×=，MN=1，
∴S_{四邊形MNQP}=PM•MN=．
故t為秒時，四邊形MNQP恰為矩形，此時矩形的面積為平方厘米；

（3）如圖3，當0≤t≤2時，點P、Q都在AC上，并且四邊形PMNQ為直角梯形，
在Rt△AMP中，∵AM=t，tan∠A==，
∴PM=AM=t，
在Rt△ANQ中，∵AN=AM+MN=t+1，tan∠A==，
∴QN=AN=（t+1），
∴S_{四邊形MNQP}=（PM+QN）MN=[t+（t+1）]=t+；


（4）當2＜t≤3時，如圖4，點P在AC上，點Q在BC上，
∵PM=t，BN=AB-AM-MN=6-t-1=5-t，
在Rt△BNQ中，
∵QN=BN=（5-t），
∴S_{四邊形MNQP}=（PM+QN）MN=[t+（5-t）]×1=；
當3＜t≤5時，點P、Q都在BC上，
∵BM=6-t，BN=5-t，
∴PM=BM=（6-t），QN=BN=（5-t），
∴S_{四邊形MNQP}=（PM+QN）MN=[（6-t）+（5-t）]=-t+．
故S=，
即當0≤t≤2時，四邊形MNQP的面積S隨t的增大而增大，當t=2時，達到最大值；當2＜t≤3時，四邊形MNQP的面積S=；當3＜t≤5時，四邊形MNQP的面積S隨t的增大而減小．
點評：本題考查的是相似形綜合題，涉及到等腰三角形的性質，勾股定理，矩形的判定，三角函數的定義，四邊形的面積，比較復雜．一般在解決動點問題時，采取數形結合與分類討論的思想．