Question

（2013•金山區二模）如圖，已知在等腰三角形△ABC中，AB=AC，BO是AC邊上的中線，延長BO至D，使得DO=BO；延長BA至E，使AE=AB，聯結CD、DE，在AE取一點P，聯結DP，并延長DP、CA交于點G．求證：
（1）四邊形ACDE是菱形；
（2）AE²=CG•EP．

Answer 1

分析：（1）連接AD，則可判斷四邊形ABCD是平行四邊形，從而得出AB=CD=AE，判斷出四邊形AEDC為平行四邊形，由AB=AC，可得CD=AC，繼而判定四邊形ACDE是菱形；
（2）證明△DEP∽△GCD，從而得出

DE

GC

=

EP

CD

，再由四邊形ACDE是菱形，可得DE=CD=AE，代入比例式即可得出結論．

解答：解：（1）連接AD，

∵BD與AC互相平分，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB

∥

.

CD，
又∵AE=AB，
∴四邊形ACDE是平行四邊形，
∵AB=AC，
∴AC=CD，
∴四邊形ACDE是菱形；

（2）∵四邊形ACDE是菱形，
∴DE=CD=AE，∠E=∠DCG，DE∥CG，
∴∠EDP=∠DGC，
∴△DEP∽△GCD，
∴

DE

GC

=

EP

CD

，即

AE

CG

=

EP

AE

，
∴AE²=CG•EP．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質、平行四邊形的判定與菱形的判定，解答本題的關鍵是等量代換，這是本題的突破口．