Question

（2013•北京）如圖，在?ABCD中，F是AD的中點，延長BC到點E，使CE=

1

2

BC，連接DE，CF．
（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形；
（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的長．

Answer 1

分析：（1）由“平行四邊形的對邊平行且相等”的性質推知AD∥BC，且AD=BC；然后根據中點的定義、結合已知條件推知四邊形CEDF的對邊平行且相等（DF=CE，且DF∥CE），即四邊形CEDF是平行四邊形；
（2）如圖，過點D作DH⊥BE于點H，構造含30度角的直角△DCH和直角△DHE．通過解直角△DCH和在直角△DHE中運用勾股定理來求線段ED的長度．

解答：（1）證明：在?ABCD中，AD∥BC，且AD=BC．
∵F是AD的中點，
∴DF=

1

2

AD．
又∵CE=

1

2

BC，
∴DF=CE，且DF∥CE，
∴四邊形CEDF是平行四邊形；

（2）解：如圖，過點D作DH⊥BE于點H．
在?ABCD中，∵∠B=60°，
∴∠DCE=60°．
∵AB=4，
∴CD=AB=4，
∴CH=2，DH=2

3

．
在?CEDF中，CE=DF=

1

2

AD=3，則EH=1．
∴在Rt△DHE中，根據勾股定理知DE=

(2 3 )2+1

=

13

．

點評：本題考查了平行四邊形的判定與性質、勾股定理．平行四邊形的判定方法共有五種，應用時要認真領會它們之間的聯系與區別，同時要根據條件合理、靈活地選擇方法．