Question

如圖1，△ABC的邊BC在直線l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF=FP．
（1）將△EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時，EP交AC于點Q，連接AP，BQ．猜想并寫出BQ與AP所滿足的數量關系，請證明你的猜想；
（2）將△EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時，EP的延長線交AC的延長線于點Q，連接AP，BQ．你認為（1）中所猜想的BQ與AP的數量關系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由；
（3）若AC=BC=4，設△EFP平移的距離為x，當0≤x≤8時，△EFP與△ABC重疊部分的面積為S，請寫出S與x之間的函數關系式，并求出最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據圖形就可以猜想出結論．
（2）要證BQ=AP，可以轉化為證明△BCQ≌△ACP得出BQ=AP；
（3）設△EFP平移的距離為x，當0≤x＜4時，，當4≤x≤8時，，解得x即可．
解答：解：（1）猜想：BQ=AP．
證明：由題意可知EF⊥FP，又EF=FP，
所以∠EPF=45°，
所以QC=CP，又∠BCQ=∠ACP=90°，AC=BC，
所以△BCQ≌△ACP，
得出BQ=AP；

（2）BQ=AP．
證明：∵∠EPF=45°，AC⊥CP，
∴CQ=CP，
又∵BC=AC，
∴Rt△BCQ≌Rt△ACP，
∴BQ=AP；

（3）當0≤x＜4時，，
當4≤x≤8時，，
當0≤x＜4時，x=-=時，S的最大值為；
當4≤x≤8時，根據對稱軸左側y隨x的增大而減小，
∴x=4時，S的最大值為4．
∴當x=時，S的最大值為．
點評：此題主要考查全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，平移的性質，二次函數的最值等知識點，證明兩個線段相等可以轉化為證明三角形全等的問題．